4.4.1. Методы нахождения базисного минора.

Метод окаймления

Спомощью эквивалентных преобразований приводят матрицу к виду, когда в её левом верхнем углу будет расположен элемент (минор первого порядка) отличный от нуля.

Спомощью эквивалентных преобразований приписывают к минору какую-нибудь строку и столбец и вычисляют определители полученных миноров. Если все миноры второго порядка имеют определители равные нулю, то ранг матрицы равен единице.

Располагают найденный минор второго порядка с определителем отличным от нуля в верхнем левом углу и приписываем к нему какую-нибудь строку и столбец и вновь вычисляют определители. Если все миноры третьего порядка имеют определители равные нулю, то ранг матрицы равен двум.

21 из 49

4.5. Принцип суперпозиции решений СЛАУ

Тогда, их линейная комбинация – решение системы уравнений

AX = B. (**)

с правой частью, являющейся линейной комбинацией правых частей систем (*) с теми же самыми коэффициентами.

Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию решений систем (*)

= ∑ .

=1

Подставим в левую часть (**). Получаем

25 из 49

n n n n

AX = A ∑ αkXk = ∑ AαkXk = ∑ αkAXk = ∑ αk k = .

k=1 k=1 k=1 k=1

Теорема доказана. ◄

Следствие 1. Линейная комбинация решений однородной СЛАУ является решением той же самой однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Следствие 2. Разность двух решений неоднородной СЛАУ – решение однородной системы.

Следствие 3. Если – комплекснозначное решение неоднородной СЛАУ с комплексной правой частью, то действительная

26 из 49

часть и коэффициент при мнимой части – решения СЛАУ правая части которых – соответственно действительная и коэффициент при мнимой части.

Следствие 4. Сумма решения однородной СЛАУ и решения неоднородной СЛАУ – решение неоднородной СЛАУ.

27 из 49

4.6.Необходимое и достаточное условия

совместности СЛАУ

Теорема 4.9 (критерий Кронекера –Капелли). Для того чтобы СЛАУ была совместной необходимо и достаточно чтобы ранг основной матрицы системы был равен рагу расширенной матрицы

Доказательство.

Необходимость. Пусть СЛАУ совместна. То есть существует набор чисел 1, 2, … , , обращающий систему (SV) в верное тождество.

A1 1 + A2 2 + A3 3 + + A = B.

Это значит, что столбец правых частей – линейная комбинация столбцов матрицы системы, а значит и базисных столбцов.

28 из 49

Поэтому при вычислении ранга расширенной матрицы ( | ) последний столбец с помощью эквивалентных преобразований может быть обращен в ноль

( | )~( |0)~ ,

и значит ранг расширенной матрицы не может быть больше ранга основной матрицы системы. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть ранг основной матрицы равен рангу расширенной

( ) = ( | ) = .

Количество базисных столбцов не изменилось. Значит столбец B – так же линейная комбинация базисных столбцов основной матрицы. Для него получим тождество

1A1 + 2A2 + 3A3 + + A = B.

Допишем оставшиеся столбцы основной матрицы с нулевыми коэффициентами

29 из 49