Ильин / 04. Элементы общей теории СЛАУ
.pdf
4. Элементы линейной алгебры
1 из 49
В лекции будут рассмотрены системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Сформулированы условия существования решений. Найдены сами решения.
Рассмотрим три варианта записи системы линейных алгебраических уравнений.
Алгебраическая форма записи СЛАУ (SA)
|
|
|
a |
|
|
x |
|
a |
x |
a |
x |
... a |
|
x |
b ; |
|
|
|
||||
|
|
|
11 |
|
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
1n |
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
||||
|
a |
|
x |
|
a |
x |
a |
x |
... a |
|
|
x |
b |
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
21 |
|
|
1 |
|
22 |
2 |
23 |
3 |
2n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
a |
|
x |
|
a |
x |
a |
x |
... a |
|
|
x |
b |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(SA) |
|
||||||||||||||
|
|
31 |
|
1 |
|
32 |
2 |
33 |
3 |
3n |
|
|
n |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
... a |
|
|
|
|
b . |
|
|
|
|||
|
a |
m1 |
x |
|
x |
x |
mn |
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
m2 |
2 |
m3 3 |
|
n |
m |
|
|
|
|||||||
2 из 49
Матричная форма записи СЛАУ (SM)
A ∙ X = B, |
(SM) |
где
a |
a |
a |
... |
a |
|
|
11 |
12 |
13 |
|
1n |
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
... |
a2n |
|
|
A a |
a |
a |
... |
a |
|
- известная матрица системы; |
31 |
32 |
33 |
|
3n |
|
|
... ... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
am2 |
am3 |
... |
|
|
|
am1 |
amn |
|
||||
3 из 49
x |
|||
|
1 |
||
x |
|||
|
|||
2 |
|||
|
|
||
X x |
|||
|
3 |
||
... |
|||
|
|||
|
|||
|
x |
||
|
|||
n |
|||
b |
|||
|
|
1 |
|
b |
|||
|
|||
|
2 |
||
|
|
||
B b |
|||
|
|
3 |
|
|
... |
||
|
|
||
|
|
||
|
b |
||
|
|||
|
m |
||
|
|
|
|
|
|
|
- вектор неизвестных, подлежащий определению; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- вектор правых частей (известных). |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 из 49
|
a |
a |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
1n |
1 |
|
|
a |
a |
a |
... |
a |
b |
||
|
|
|
||||||
|
21 |
22 |
23 |
|
2n |
2 |
||
|
|
|
|
|||||
A |
B a |
a |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
3n |
3 |
|
|
... ... |
... ... ... ... |
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
a |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
|
||||||
|
m1 |
m2 |
m3 |
|
mn |
m |
||
рица системы.
- расширенная мат-
5 из 49
Векторная форма записи СЛАУ |
|
|
|
|
|||
A |
+ A |
+ A |
+ + A |
|
|
= B, |
(SV) |
1 1 |
2 2 |
3 3 |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Ak
a |
|
||
|
1k |
|
|
a |
|||
|
|
||
2k |
|||
|
|
||
a |
, k |
||
|
3k |
|
|
... |
|||
|
|
||
|
|||
|
|
|
|
amk |
|||
1, n
- к – ый столбец матрицы системы.
6 из 49
4.1. Общие понятия о решении СЛАУ
Определим термины, общие для всех систем.
Определение 4.1. СЛАУ называют однородной, если правая часть её равна нулю = 0. В противном случае – неоднородной.
Определение 4.2. Решением СЛАУ называют произвольный набор 1, 2, … , чисел или вектор , обращающий систему в верное равенство.
Определение 4.3. СЛАУ называют определенной, если существует единственное решение.
У однородной СЛАУ заведомо существует тривиальное или нулевое решение: x1 = x2 = = xn = 0.
7 из 49
Определение 4.4. СЛАУ называют неопределенной, если существует более одного решения.
Определение 4.5. СЛАУ называют совместной, если множество её решений не пусто. В противном случае - несовместной.
Решить СЛАУ значит:
выяснить является она совместной или несовместной (исследование системы);
в случае совместности найти все её решения (собственно решение).
8 из 49
4.2. Линейная зависимость столбцов матрицы
Рассмотрим произвольную систему столбцов произвольной матрицы
Ak
a |
|
||
|
1k |
|
|
a |
|||
|
|
||
2k |
|||
|
|
||
a |
, k |
||
|
3k |
|
|
... |
|||
|
|
||
|
|||
|
|
|
|
amk |
|||
1,
n
.
(4.1)
Умножим каждый из них на произвольное число , = 1, . Получим следующую сумму (линейную комбинацию столбцов)
1A1 |
+ 2A2 |
+ 3A3 |
+ + A . |
(4.2) |
|
|
|
|
9 из 49 |
Если все числа = 0, = 1, (тривиальный набор чисел), то линейная комбинация заведомо равна нулю (нулевому столбцу).
Определение 4.6. Система столбцов (4.1) называется линейно зависимой, если существует такой нетривиальный набор
чисел , = 1, (набор чисел, в котором хотя бы одно отлично от нуля), что соответствующая линейная комбинация (4.2) обращается в ноль. В противном случае, система столбцов (4.1) линейно независимая.
Элементарные следствия из определения.
Теорема 4.1. Если система (4.1) содержит нулевой столбец, то система линейно зависимая.
Доказательство. Допустим, что 1 = 0. Тогда запишем
10 из 49