Ильин / 03. Исследование графика функции

3.10. Второе достаточное условие перегиба графика функции

Теорема 3.13 (второе достаточное условие перегиба гра-

фика функции). Пусть функция = ( ) трижды дифференцируема в некоторой окрестности точки = и выполняются равенства ′′( ) = 0, ′′′( ) ≠ 0. Тогда график функции имеет перегиб в точке ( , ( )).

Доказательство. Из условия f′′′(c) ≠ 0 и из теоремы о знаке производной монотонной функции следует, что f′′( ) = 0 либо возрастает, либо убывает в точке x = c. Так как, то в обоих случаях найдется такая окрестность точки x = c, в которой f′′( ) имеет разные знаки слева и справа от точки x = c. Но тогда по предыдущей теореме график функции имеет перегиб в точке

( , ( )).

41 из 60

3.11. Третье достаточное условие экстремума и перегиба графика функции

Теорема 3.14 (третье достаточное условие экстремума и перегиба графика функции). Пусть функция = ( ) − 1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки = и раз дифференцируема в самой точке = . Её производные допорядка включительно в точке = удовлетворяют соотношениям

′( ) = ′′( ) = ′′′( ) = = ( −1)( ) = 0, ( )( ) ≠ 0. (3.10)

Тогда, если - нечетное число, то график функции имеет перегиб в точке ( , ( )). Если - четное число, то функция =( ) имеет максимум при ( )( ) < 0 и минимум при ( )( ) > 0.

42 из 60

Доказательство. Разложим функцию по формуле Тейлора в

и перепишем её в виде

Рассмотрим случай четного . Тогда знак правой части определяется знаком ( )( ), который совпадает со знаком ( )( ) в

достаточно малой окрестности точки = . Если f(n)(c) > 0, то( ) > ( ) и точка = – точка минимума. Если же f(n)(c) < 0, то ( ) < ( ) и точка = – точка максимума.

43 из 60

Для нечетного сомножитель ( − ) меняет знак при переходе через точку = . Заметим, что касательная в точке =горизонтальна и её ордината равна ( ). Поэтому по разные стороны от точки = график функции будет расположен либо выше своей касательной ( ( ) > ( )), либо ниже ( ( ) <( )). Это и означает, что в точке ( , ( )) – перегиб.

44 из 60

3.12. Асимптоты графика функции

- вертикальной асимптотой графика функции = ( ), если хотя бы одно из предельных значений

( ) или ( )

→ −0 → +0

равно бесконечности.

Пример 3.6. Найти вертикальные асимптоты графика функ-

1

ции ( ) = +2.

Решение. Найдем односторонние предельные значения функции в точке = −2

45 из 60

Прямая = −2 – вертикальная асимптота графика функции.

46 из 60

Рис. 3.6. Вертикальная асимптота

47 из 60

- наклонной асимптотой графика функции = ( ) при →

Теорема 3.15). Для того чтобы график функции = ( ) имел при → +∞ ( → −∞) наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали предельные значения

48 из 60

2 − 4 + 5 = 2 − 4 + 3 = 1

→∞

Уравнение наклонной касательной

= 2 + 1

50 из 60