Ильин / 03. Исследование графика функции
.pdf
Разложит функцию y = f(x) в окрестности точки формуле Тейлора
= ( ) + ′1!( ) ( − ) + ′′2!( ) ( − )2
Рассмотрим разность ординат |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
′( |
) |
|
|
′′( |
) |
|
|
|
||
− = ( ) + |
|
|
( − ) + |
|
|
|
|
( − )2 |
||||
|
1! |
|
|
2! |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′′( |
|
) |
|
|
− ( ( ) + ′( )( − )) = |
|
|
|
|
( − )2 |
|||||||
|
|
2! |
|
|
||||||||
= по
(3.6)
(3.7)
Поскольку вторая производная по предположению неотрицательна f′′(x) ≥ 0, то правая часть также неотрицательна для
31 из 60
произвольных из ( , ). А это означает выполнение неравенства ≥ – график функции y = f(x) всюду на интервале ( , ) лежит не ниже своей касательной.
32 из 60
Рис. 3.4. Достаточное условие выпуклости (вниз)
33 из 60
Теорема 3.10 (достаточное условие локальной выпукло-
сти графика функции). Пусть вторая производная функции= ( ) непрерывна и положительна (отрицательна) в точке= . Тогда существует некоторая окрестность упомянутой точки, в пределах которой график функции = ( ) имеет выпуклость, направленную вверх (вниз).
Направление выпуклости графика функции полностью определяется знаком второй производной этой функции
34 из 60
3.8. Точки перегиба графика функции
Определение 3.3. Точку ( , ( )) графика функции =( ) называют точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки = , в пределах которой график функции = ( ) по разные стороны от точки = имеет разные направления выпуклости.
35 из 60
Рис. 3.5. Точка перегиба графика функции
36 из 60
Теорема 3.11 (необходимое условие перегиба графика функ-
ции). Если график функции = ( ) имеет в точке перегиб( , ( )) и если функция = ( ) дважды непрерывно диф-
ференцируема в точке = , то |
|
′′( ) = 0. |
(3.8) |
Доказательство. Допустим противное: ′′( ) ≠ 0. Тогда в силу теоремы 3.10 найдется окрестность точки, в пределах которой график функции (по обе стороны) имеет определённое направление выпуклости. Это противоречит наличию перегиба в точке ( , ( )). Полученное противоречие и доказывает теорему.
37 из 60
Таким образом, для поиска точек перегиба графика функции′′( ) = 0, имеющей непрерывную вторую производную необходимо найти корни второй производной или решить уравнение
|
|
′′( ) = 0. |
(3.9) |
Корни этого уравнения, а так же все точки, в которых вторая производная не существует дают возможное множество точек перегиба. Такие точки назовем – критическими точками второго рода.
38 из 60
3.9. Первое достаточное условие перегиба графика функции
Теорема 3.12 (первое достаточное условие перегиба гра-
фика функции). Пусть функция = ( ) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки = и ′′( ) = 0. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки = , то график функции имеет перегиб в точке ( , ( )).
Доказательство. График функции y = f(x) имеет касательную в точке x = c . Поскольку по разные стороны от точки x = c, вторая производная имеет различные знаки, то на основании теоремы 3.9 делаем вывод, что направления выпуклости слева и
39 из 60
справа от точки x = c являются различными. То есть точка x = c – точка перегиба, что и требовалось доказать.
40 из 60