Ильин / 03. Исследование графика функции

Таблица 3.3 Нахождение точек экстремума с помощью второго доставоч-

ного условия

Таким образом в точках -3 и 6 – локальный максимум, в точках 2 и 10 –локальный минимум

21 из 60

3.5. Экстремум недифференцируемой функции

Теорема 3.8 (достаточное условие экстремума недиффе-

ренцируемой функции). Пусть функция = ( ) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки = , за исключением, быть может, самой точки, и непрерывна в точке =. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная функции ′( ) положительна (отрицательна) слева от точки= и отрицательна (положительна) справа от точки = , то сама функция имеет в точке = локальный максимум (минимум). В том случае когда производная функции ′( ) имеет тот же знак слева и справа от точки = , то экстремума в точке = нет.

22 из 60

Решение. Функция непрерывна. Вычислим первую производную

Единственная критическая точка x=0. Составим таблицу

23 из 60

Таблица 3.4 Нахождение точек экстремума недифференцируемой функции

Таким образом в точке 0 экстремума нет (см. рис.)

24 из 60

Рис. 3.2. Критическая точка недифференцируемой функции

25 из 60

3.6. Алгоритм отыскания экстремумов

Пусть функция y = f(x) такова, что

1.определена на некотором множестве, например, на отрезке [ , ];

2.функция непрерывна на отрезке;

3.первая производная функции f′(x) существует и непрерывна всюду на отрезке [ , ], кроме конечного числа точек;

4.производная функции f′(x) обращается в нуль на отрезке [ , ] лишь в конечном числе точек.

Эти требования таковы, что на отрезке определены точки

в которых производная функции либо обращается в нуль либо не существует. Следовательно, на интервалах

26 из 60

( , 1), ( 1, 2), ( 2 < 3), … , ( −1 < ), ( , )

производная сохраняет знак. То есть на этих интервалах функция либо возрастает, либо убывает.

Следовательно экстремум может быть только в точках (3.4).

27 из 60

3.7. Выпуклость графика функции

Определение 3.2. Говорят, что график функции = ( ) имеет на интервале (, ) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции на упомянутом интервале лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

28 из 60

Рис. 3.3. Ориентация выпуклости графика функции

29 из 60

Теорема 3.9 (достаточное условие выпуклости графика функции). Пусть функция = ( ) на интервале ( , ) дважды дифференцируема и её вторая производная ′′( ) неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале. Тогда график функции ( ) имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх)

Доказательство. Рассмотрим случай, когда f′′(x) ≥ 0 всюду на ( , ). Если = – произвольная точка интервала( , ), то достаточно доказать, что график функции y = f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку ( , ( )). Уравнение этой касательной

30 из 60