Ильин / 03. Исследование графика функции

3. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функцияхе

1 из 60

Методы дифференциального исчисления применяются для исследования поведения графика функции. Интерес представляют монотонность на множествах, точки экстремума, ориентация выпуклости графика функции, точки перегиба и асимптотическое поведение графика функции в определенных точках и на бесконечности.

В пределах изложения этой темы будем предполагать, что функция всюду дифференцируема в области своего определения, за исключением быть может конечного числа изолированных точек.

2 из 60

3.1. Монотонность функции

В предыдущей теме сформулированы условия, при выполнении которых дифференцируемая функция = ( ) возрастает, убывает, не убывает или не возрастает на интервале ( , ). Для удобства повторим их ещё раз в виде следующих теорем.

Теорема 3.1 (необходимое и достаточное уловие неубывания функции). Для того дифференцируемая функция= ( ) не убывала на интервале ( , ), необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции ′( ) была неотрицательна всюду на этом интервале.

3 из 60

Теорема 3.2 (необходимое и достаточное уловие невозрастания функции). Для того дифференцируемая функция = ( ) не возрастала на интервале ( , ), необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции ′( ) была неположительна всюду на этом интервале.

Теорема 3.3 (достаточное уловие возрастания функции).

Для того дифференцируемая функция = ( ) возрастала на интервале ( , ), достаточно, чтобы производная этой функции ′( ) была положительна всюду на этом интервале.

4 из 60

Теорема 3.4 (достаточное уловие убывания функции). Для того дифференцируемая функция = ( ) убывала на интервале ( , ), достаточно, чтобы производная этой функции′( ) была отрицательна всюду на этом интервале.

Вывод: задача нахождения участков монотонности дифференцируемой функции = ( ) сводится к исследованию знака первой производной ′( ) этой функции.

Пример 3.1. Найти интервалы монотонности функции

( ) = 55 − 154 4 + 383 3 + 78 2 − 360 − 200.

Решение. Вычислим первую производную функции

′( ) = 4 − 15 3 + 38 2 + 156 − 360.

Приравняем её к нулю

4 − 15 3 + 38 2 + 156 − 360 = 0,

5 из 60

и найдем корни полученного уравнения, например, методом подбора, – критические точки функции

4 − 15 3 + 38 2 + 156 − 360 =

=( + 3)( − 2)( − 6)( − 10) = 0.

Корни уравнения: -3, 2, 6, 10. Исследуем знаки производных на каждом из интервалов, ограниченных критическими точками.

На интервале (−∞, −3) производная функции положительна, следовательно, на этом интервале функция возрастает.

На интервале (−3,2) производная функции отрицательна, следовательно, на этом интервале функция убывает.

На интервале (2,6) производная функции положительна, следовательно, на этом интервале функция возрастает.

6 из 60

На интервале (6,10) производная функции отрицательна, следовательно, на этом интервале функция убывает.

На интервале (10, +∞) производная функции положительна, следовательно, на этом интервале функция возрастает.

Все эти сведения сведем в табл. 3.1, а график самой функции

- на рис. 3.1.

Таблица 3.1 Исследование знака производной функции на интервалах

7 из 60

Рис. 3.1. График функции примера 3.1

8 из 60

3.2. Экстремум функции

Ранее было введено понятие локального максимума и локального минимума функции = ( ) и установлено необходимое условие наличия у функции в некоторой точке x = c локального максимума или минимума. Повторим основные положения.

Определение 3.1. Функция = ( ) имеет в точке = локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки = , в пределах которой значение функции ( ) является наибольшим (наименьшим) среди других значений функции из указанной окрестности.

9 из 60

Локальный максимум или локальный минимум объединяются общим термином экстремум.

Теорема 3.5 (необходимое условие экстремума дифференцируемой функции). Если функция = ( ) диффе-

ренцируема в точке = и имеет в этой точке экстремум, то

Согласно теореме 3.5, для нахождения у дифференцируемой функции точек возможного экстремума, следует найти все

10 из 60