Ильин / 02. Функции. Предельное значение функции

Определение 2.7. Функцию = ( ) называют бесконечно

большой в точке = , если ( ) = ∞.

→

1

( ) = (−) - бесконечно большая функция в точке = .

( ) = ( − ) - бесконечно большая функция на бесконечности.

Для бесконечно больших функций используют обозначения

( ) = ∞.

→

Замечание. Аналогично определяются понятия бесконечно малой или бесконечно большой функции справа (слева) от точки

= .

Скорость изменения функции оценивается порядком малости или порядком роста

21 из 26

Функцию ( ) называют бесконечно малой более высокого

Функции ( ) и ( ) называют бесконечно малыми одного

22 из 26

Функции ( ) и ( ) называют эквивалентными бесконечно

малыми, если предельное значение функции ( ) в точке =

( )

равно единице

( )~( ). (2.12)

Замечание. Часто в качестве функции сравнения используют степенную функцию ( − ) , m- целое положительное число, которое называют порядком малости.

Для бесконечно больших функций ( ) и ( ) в точке = используют аналогичный подход.

23 из 26

Функция ( ) имеет в точке = более высокий порядок

роста, чем функция ( ), если функции ( ) – бесконечно боль-

( )

шая в точке =

Функции ( ) и ( ) имеет в точке = одинаковый поря-

док роста, если функции ( ) имеет в точке = конечный пре-

( )

дел отличный от нуля.

Пример 2.6. Доказать, что функция = – бесконечно малая в точке = 0.

Решение. Пусть достаточно близко к нулю. Тогда (см. рис. далее) справедливо > 0

∆ ≤ .

24 из 26

Рис. 2.3. Иллюстрация к примеру

Запишем это неравенство в виде

0 ≤ 12 1 ≤ 12 12

25 из 26

или

0 ≤ ≤ .

Если произвольного знака, то получаем

0 ≤ | | ≤ | |.

Применим теорему о пределе зажатой функции

lim 0 = 0; lim| | = 0 lim| | = 0.

→0 →0 →0

Следовательно, функция = в точке = 0 - бесконечно малая.

26 из 26