2. Понятие функции. Предельное значение функции

1 из 26

Рассматривается понятие функции, её предельного значения в точке и на бесконечности.

2 из 26

Функция – одно из фундаментальных понятий математики. Она описывает зависимость между несколькими переменными.

Определение 2.1. Если каждому значению переменной из множества { } ставят в соответствие по определённому правилу некоторое число , то говорят, что на множестве { } задана функция = ( ) или = ( ).

Примеры функций

= 2. Функция задана на всей числовой оси ( 2) = , множество значений ( 2) = + - полупрямая неотрицательных чисел.

= !. Функция определена на множестве натуральных чисел (!) = . Множество значений – множество натуральных чисел вида !.

3 из 26

0,= ( ) = {1, - функция Дирихле. Область определе-

ния - , область значений два числа 0 и 1.

−1, < 0;= ( ) = { 0, = 0; - функция знака. Область опреде-

1, > 0

ления - , область значений три числа -1,0 и 1.

= – целая часть числа. Область определения - , область значений – целые числа.

4 из 26

2.1. Понятие предельного значения функции

Определение 2.2 (Гейне). Число называют предельным значением функции = ( ) в точке = (или пределом функции при → ), если для любой сходящейся к последователь-

5 из 26

Определение 2.3. Число называют правым (левым) предельным значением функции = ( ) в точке = (или односторонним пределом функции при → ), если для любой сходящейся к последовательности { } значений аргумента , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции { ( )} сходится к .

Правый предел

Левый предел

6 из 26

Рис. 2.1. Предел и односторонние пределы функции в точке

Определение 2.4. Число называют предельным значением функции = ( ) при → ∞ (или пределом функции при → ∞), если для любой бесконечно большой последовательности

7 из 26

Определение 2.5. Число называют предельным значением функции = ( ) при стремлении аргумента к положительной (отрицательной) бесконечности, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой, начиная с некоторого номера положительны (отрицательны) соответствующая последовательность зна-

Рис. 2.2. Предел функции на бесконечности

9 из 26

2.2. Свойства функций, имеющих предельное

значение

Свойства сформулированы для случая стремления переменной к конечному числу: → . Однако, они остаются справедливыми и для односторонних пределов в точке, а так же и для предела на бесконечности.

Теорема 2.1. Пусть функции ( ) и ( ) имеют в точке =предельные значения и . Тогда функции ( ) + ( ), ( ) −

( ), ( ) ( ) и ( ) имеют в точке = предельные значе-

( )

ния (частное при условии ≠ 0), равные соответственно + ,

− , и .

Доказательство. Пусть { } - произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента функций ( ) и ( ).

10 из 26