9.8. Отклонение точки от плоскости
Введем понятие отклонения точки от плоскости .
Пусть - расстояние от точки до плоскости (длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость ).
Определение 9.2. Отклонением точки от плоскости назовем число + , когда точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости , и число − в случае, когда точка и начало координат лежат по одну сторону плоскости .
Теорема 9.1. Отклонение точки 0( 0, 0, 0) от плоскости, задаваемой нормированным уравнением (9.11) определяется выражением
|
= 0 + 0 + 0 − . |
|
(9.12) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
25 из 30
Рис. 9.5. Отклонение точки от плоскости
26 из 30
Доказательство. Спроектируем точку на направление нормали OP. Выполняется
= PQ = OQ − OP = OQ − p.
Заметим, что OQ = пр ̅ 0 = 0 + 0 + 0 .
Сопоставляю полученные выражения получаем искомое утверждение теоремы.
Замечание. Для нахождение отклонения точки от плоскости достаточно в левую часть нормированного уравнения плоскости подставить координаты точки.
27 из 30
9.9. Пучки и связки плоскостей
Определение 9.3. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую , называют пучком плоскостей (с центром на ).
Если 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 + 2 = 0
суть уравнения двух различных и непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, и произвольные числа, не обращающиеся одновременно в ноль, то
( 1 + 1 + 1 |
+ 1) + ( 2 + 2 + 2 |
+ 2) |
(9.13) |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L.
28 из 30
Справедливо и противоположное утверждение. Произвольная плоскость, проходящая через прямую L определяется уравнением (9.13) при некоторых и .
Определение 9.4. Совокупность всех плоскостей, проходящих через дону и ту же точку 0( 0, 0, 0), называют связкой плоскостей (с центром в 0).
Нетрудно убедится, что уравнение
|
( − 0) + ( − 0) + ( − 0) = 0. |
|
(9.14) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M0,
в направлении, задаваемом нормальным вектором = (A, B, C). Поэтому, с одной стороны, уравнение (9.14) при заданном
векторе нормали – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0 в заданном направлении.
29 из 30
А, с другой стороны, – уравнение (9.14) - связка плоскостей с центром в точке M0, при произвольных векторах нормали.
30 из 30