9.7. Нормированное уравнение плоскости
Рассмотрим произвольную плоскость (см. рис. 9.4). Опустим из начала координат на плоскость перпендикуляр. Пусть P
– точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. На перпендикуляре выберем единичный вектор (нормаль к плоскости) ̅ = (, , ), направление которого совпадает с направле-
нием отрезка , длины .
21 из 30
Рис. 9.4. Нормированное уравнение плоскости
22 из 30
Пусть точка (, , ) - произвольная точка плоскости . Тогда эта точка принадлежит рассматриваемой плоскости тогда
и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором ̅ равна или
пр̅ = .
Левую часть этого выражения можно записать в виде
пр̅ = ( ̅, ) = + + .
Таким образом получаем уравнение
+ + − = 0, |
(9.11) |
|
|
которое называют нормированным уравнением плоскости. Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение плос-
кости к нормированному виду, достаточно учесть тот факт, что
23 из 30
сумма квадратов направляющих косинусов равна единице. Поэтому умножим общее уравнение плоскости (9.5) на нормирующий множитель
1
± √ 2 + 2 + 2,
знак перед которым выберем противоположным знаку D: по смыслу расстояние p неотрицательно.
24 из 30