9. Плоскость

1 из 30

Плоскость один из простейших геометрических объектов. Приводятся различные формы уравнений плоскости и решены типичные задачи.

2 из 30

9.1.Определение плоскости. Общее

уравнение плоскости

Определение 9.1. Плоскостью называют геометрическое место точек пространства, для которых вектор, соединяющий фиксированную точку 0 геометрического места с произвольной точкой M геометрического места, ортогонален нену-

левому вектору

3 из 30

Рис. 9.1. Определение плоскости

4 из 30

Составим уравнение плоскости. Для этого введем ДПСК. Пусть

- ненулевой нормальный вектор; 0( 0, 0, 0) - фиксированная точка плоскости; ( , , ) – произвольная (текущая) точка плоскости; 0 = ( 0, 0, 0) – радиус-вектор точки 0; =

( , , ) – радиус-вектор точки ; 0 = − 0 = ( − 0, −0, − 0).

Воспользуемся необходимым и достаточным условием ортогональности векторов. Тогда определение (9.1) запишется в виде

(N̅, M0M) = 0.

Подставим в него векторные выражения

5 из 30

где = −(N̅, r0) – некоторая постоянная. Предыдущее уравнение называется векторным уравнением плоскости.

Выпишем скалярное произведение в левой части (9.4) и перенесем постоянную в левую часть

Полученное уравнение – уравнение плоскости в общем виде

Таким образом выполняются следующие два утверждения.

6 из 30

1.Если в пространстве задана произвольная плоскость, то в произвольной декартовой прямоугольной системе координат эта плоскость задается уравнением первой степени.

2.Если в пространстве выбрана произвольная декартова прямоугольная система координат, то всякое уравнение первой степени определяет некоторую плоскость.

7 из 30

9.2. Неполные уравнения плоскости

Общее уравнение (9.5) называется полным, если все его коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим эти варианты

1)D=0, уравнение Ax + By + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2)A=0, уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость параллельную оси Ox: N̅ = (0, B, C).

3)B=0, уравнение + Cz + D = 0 определяет плоскость параллельную оси Oy: N̅ = (A, 0, C).

4)C=0, уравнение Ax+By + D = 0 определяет плоскость параллельную оси Oz: N̅ = (A, B, 0).

8 из 30

5)A=0, B=0, уравнение Cz + D = 0 определяет плоскость параллельную координатной плоскости Oxy: N̅ = (0,0, C).

6)A=0,C=0, уравнение By+D = 0 определяет плоскость параллельную координатной плоскости Oxz: N̅ = (0, B, 0).

7)B=0, C=0, уравнение Ax+D = 0 определяет плоскость параллельную координатной плоскости Oyz: N̅ = (A, 0,0).

8)A=0, B=0, D=0, уравнение Cz = 0 определяет координатную плоскость Oxy: N̅ = (0,0, C).

9)A=0, C=0, D=0, уравнение = 0 определяет координатную плоскость Oxz: N̅ = (0, B, 0).

10)B=0, C=0, D=0, уравнение = 0 определяет координатную плоскость Oyz: N̅ = (A, 0,0).

9 из 30

9.3. Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим полное общее уравнение плоскости (9.5). Перенесем слагаемое D в правую часть и поделим обе части

уравнения на –D. Получим

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках. Числа , и имеют простой геометрический смысл: длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях. Отрезки отсчитываются от начала координат с учётом знака.

10 из 30

Рис. 9.2. Уравнение плоскости в отрезках

11 из 30

Пример 9.1. Пусть плоскость задана общим уравнением −5 + 6 − + 30 = 0. Записать для неё уравнение плоскости в отрезках.

Решение. Перенесем свободный член в правую часть и разделим полученное уравнение на -30

Последнее выражение и есть искомое уравнение плоскости в отрезках.

12 из 30