Ильин / 11. Прямая и плоскость
.pdf
11. Прямая и плоскость
1 из 12
Рассмотрены основные задачи на взаимное расположение прямой и плоскости.
2 из 12
11.1. Условия пересечения трех плоскостей в
одной точке
Пусть даны три плоскости,
1: 1 + 1 + 1 + 1 = 0;2: 2 + 2 + 2 + 2 = 0;3: 3 + 3 + 3 + 3 = 0,
которые могут пересекаться только либо в одной точке, либо по одной прямой либо не пересекаться вовсе. Сформулируем условия, налагаемые на плоскости в этих случаях.
Пусть все три плоскости не параллельны. Это означает, что среди трех нормальных векторов не коллинеарных и три вектора некомпланарны. Это положение равносильно выполнению соотношения
3 из 12
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1, 2, 3) ≠ 0 | 2 |
2 |
2| ≠ 0. |
(11. 1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
Действительно, при выполнении этого условия, система из трех линейных уравнений плоскостей имеет единственное решение, поскольку её определитель отличен от нуля. Сама точка пересечения трех плоскостей находится как решение систему уравнений
1 + 1 + 1 + 1 = 0; { 2 + 2 + 2 + 2 = 0;3 + 3 + 3 + 3 = 0.
4 из 12
11.2. Угол между прямой и плоскостью
Теперь рассмотрим прямую |
|
|
|
||||
: |
− 0 |
= |
− 0 |
= |
− 0 |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
и плоскость
: + + + = 0.
Поставим задачу найти угол между прямой и плоскостью.
5 из 12
Рис. 11.1. Прямая и плоскость
6 из 12
Определение 11.1. Углом между прямой и плоскостью назовём угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Если направляющий вектор прямой не ортогонален нормальному вектору плоскости, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| + + | |
|
|
|
|
|||
|
|
|( , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
̂ |
)| |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
(11. 2) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 + 2 + 2 |
√2 + 2 + 2 |
|
|
|
|
||||
|
| || |
|
| |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Точка пересечения прямой и плоскости находится как решение следующей системы уравнений
+ + + = 0;
{ − 0 |
= |
− 0 |
= |
− 0 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
Из полученной формулы могут быть получены частные случаи взаимного положения прямой и плоскости.
7 из 12
Условие коллинеарности прямой и плоскости
( , ) = 0 + + = 0. 
(11. 3)
Условия ортогональности прямой и плоскости
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11. 4) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ , ] = 0 = = |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8 из 12
11.3. Принадлежность прямой плоскости
|
Сформулируем условия, при которых прямая |
|
|
|
||||||||
|
: |
− 0 |
|
= |
− 0 |
|
= |
− 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
принадлежит плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
: + + + = 0. |
|
|
|
||||||||
|
Эти условия выражаются системой двух равенств |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
: { 0 + 0 + 0 + = 0; |
|
(11. 5) |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
+ + = 0. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
Первое равенство – |
условие |
принадлежности |
|
точки |
|||||||
M0(x0, y0, z0) (она лежит на прямой L) плоскости π.
Второе равенство – условие параллельности прямой L и плоскости π.
9 из 12
11.4. Принадлежность двух прямых одной
плоскости
Две прямые в пространстве |
|
|
|
|
|
|
||||
: |
− 1 |
= |
− 1 |
= |
− 1 |
; |
||||
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 : |
− 2 |
= |
− 2 |
= |
|
− 2 |
; |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
||
Могут пересекаться, быть параллельными и скрещиваться. Для первых двух случаев существует единственная плоскость, содержащая обе прямые.
Если существует плоскость, то направляющий вектор ̅1 = ( 1, 1, 1) первой прямой 1, направляющий вектор ̅2 =
10 из 12