Ильин / 06. Скалярное произведение двух векторов
.pdf
6. Скалярное произведение
1 из 17
Скалярное произведение двух векторов – одно из основных понятий в линейной (векторной) алгебре. В его помощью определяются углы, длина и прочее.
2 из 17
6.1. Скалярное произведение двух векторов
Определение 6.1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если заданы вектора и ̅, угол между ними , то скалярное
̅
произведение выражается (инвариантной) формулой
̅ |
̅ |
(6.1) |
(̅, ) = |̅|| | . |
||
С учетом определения проекции вектора, получаем
̅ |
̅ |
(6.2) |
пр̅ = | | , |
||
или
̅ |
̅ |
(6.3) |
(̅, ) = |̅|пр̅ . |
||
В силу симметрии
3 из 17
̅ |
̅ |
|
̅. |
(6.4) |
(̅, ) = | |пр̅ |
||||
|
|
|
|
|
Теорема 6.1 (Геометрическое свойство скалярного произ-
ведения). Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения
̅ |
̅ |
(6.5) |
̅ (̅, ) = 0. |
||
Доказательство. Необходимость. Пусть вектора ортого-
наьны |
|
|
̅ |
̅ |
|
̅ = |
2 |
= 0 (̅, ) = 0. |
Достаточность. Пусть скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю
4 из 17
̅ |
|
̅ |
|
||
( ̅, ) = 0 = 0 = |
2 |
̅ . |
Теорема 6.2 (Знак скалярного произведения). Два ненулевых вектора составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).
5 из 17
6.2.Алгебраические свойства скалярного
произведения
Сформулируем основные свойства скалярного произведе-
ния: |
|
|
|
|
|
|
1. |
̅ |
̅ |
|
|
|
|
(̅, ) = ( , ̅) - переместительное свойство; |
||||||
2. |
|
̅ |
̅ |
|
|
|
( ̅, ) = (̅, ) - сочетательное свойство относительно |
||||||
|
умножения на число; |
|
|
|||
3. |
|
̅ |
( |
|
̅ |
- распределительное свой- |
((̅ + ), ̅) = |
̅, ̅+ ( , ̅) |
|||||
|
|
|
) |
|
|
|
ство относительно суммы векторов;
4.(̅, ̅) = |̅|2 ≥ 0 - неотрицательность скалярного квадрата;
5. |
̅ |
2 |
̅ ̅ |
(̅, ) |
|
≤ (̅, ̅)( , ) - неравенство Коши-Буняковского; |
6 из 17
6. |
̅ |
̅ |
|̅ + | ≤ |̅| + | | - неравенство треугольника (Минков- |
||
ского).
Доказательство. Докажем свойство 5 (неравенство КошиБуняковского). Запишем скалярный квадрат
̅ ̅
( ̅ + , ̅ + ) ≥ 0;
воспользуемся свойствами скалярного произведения
2 |
( |
|
) |
̅ |
̅ ̅ |
|
|
̅, ̅ |
+ 2 (̅, ) + ( , ) ≥ 0; |
||||
|
|
|||||
выпишем условие неотрицательности
̅ |
2 |
( |
) |
̅ ̅ |
(2(̅, )) |
− 4 ̅, ̅ |
|
( , ) ≤ 0. |
|
Докажем свойство 6 (неравенство треугольника). Рассмотрим скалярный квадрат
7 из 17
̅ |
2 |
̅ |
̅ |
|
|̅ + | |
|
= (̅ + , ̅ + ) = (̅, ̅) + 2(̅, |
||
|
|
|
̅ |
̅ ̅ |
≤ (̅, ̅) + 2|(̅, )| + ( , );
̅ ̅ ̅
) + ( , )
мажорируем правую часть с помощью неравенства Коши-Буня- ковского.
̅ |
2 |
≤ |
|̅| |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ ̅ |
|
|
̅ |
2 |
= |
|
|
|
|||||
|̅ + | |
|
|
+ 2√(̅, ̅)( , ) + | | |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
| |
̅ |
|2 |
+ 2 |
√| |
̅ |
|2 |
̅ |
2 |
̅ |
2 |
= |
| |
̅ |
|2 |
| |
| ̅ ̅ |
2 |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
| | |
|
+ | | |
|
|
|
|
+ 2 ̅ |
| | + | | |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= (|̅| + | |) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 6.1. Пусть вектора ̅и ̅ имеют длины равные соответственно 2 и 4. Угол между ними - = 3. Найти скалярное
произведение векторов и ̅ .
̅ = 3 ̅− 4̅ = ̅− ̅
8 из 17
Решение. Воспользуемся свойствами скалярного произведе-
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
( |
|
) |
|
( |
) ( |
|
) |
|
|
(̅, ) = |
3 ̅− 4̅, ̅− ̅ |
= |
3 ̅− 4̅, ̅ |
= |
||||||
|
|
|
3 ̅− 4̅, ̅− |
|
=(3 ̅, ̅) + (−4̅, ̅) − (3 ̅, ̅) − (−4̅, ̅) =
=3( ̅, ̅) − 4(̅, ̅) − 3( ̅, ̅) + 4(̅, ̅) =
=3( ̅, ̅) − 7( ̅, ̅) + 4(̅, ̅) =
1 = 3 2 2 1 − 7 2 4 2 + 4 4 4 1 = 48.
Пример 6.2. В условиях примера 6.1 найти модули векторов
и ̅.
̅
Решение. Воспользуемся свойствами скалярного произведения. Применим свойство линейности.
9 из 17
|̅|2 = (3 ̅− 4̅, 3 ̅− 4̅) = = (3 ̅, 3 ̅) + (3 ̅, −4̅) + (−4̅, 3 ̅) + (−4̅, −4̅).
Вынесем числовые множители
|̅|2 = 9( ̅, ̅) − 12( ̅, ̅) − 12(̅, ̅) + 16(̅, ̅)
Воспользуемся переместительным свойством
|̅|2 = 9( ̅, ̅) − 24( ̅, ̅) + 16(̅, ̅)
Найдем скалярные произведения векторов ̅и ̅ с помощью определения
( ̅, ̅) = | ̅|| ̅| 0 = 4;
( ̅, ̅) = | ̅||̅| 3 = 4;
(̅, ̅) = |̅||̅| 0 = 16.
Подставляем в выражение для квадрата длина вектора
|̅|2 = 36 − 96 + 256 = 196.
10 из 17