Ильин / 16. Линии второго порядка
.pdf
16. Линии второго порядка
1 из 32
Рассматриваются алгоритмы нахождения канонических уравнений линий второго порядка.
2 из 32
16.1.Преобразование декартовых
прямоугольных координат на плоскости
Рассмотрим на плоскости две декартовые прямоугольные системы координат.
Первая система координат: начало в точке O, координатные орты ̅и .̅Вторая система координат: начало в точке O’, координатные орты ′̅и ′̅.
Решим следующую основную задачу: выразить координаты произвольной точки (, ) относительно первой системы (старой) через координаты этой же точки относительно второй системы (новой) координат ( ′, ′)
|
|
|
|
(16.1) |
= ̅+ ;̅ ′ = ′ ′̅+ ′ ′̅. |
||||
3 из 32
Рис. 16.1. Вывод преобразований координат на плоскости
4 из 32
Координаты центра новой системы координат относительно старой
′ = 0̅+ 0.̅
Соотношения между координатными ортами
′̅= 11̅+ 12;̅ ′̅= 21̅+ 22;̅.
Тождество между векторами
= ′ + ′ .
Координатное представление тождества
̅+ ̅= 0̅+ 0̅+ ′ ′̅+ ′ ′̅.
(16.2)
(16.3)
(16.4)
(16.5)
5 из 32
Скалярные уравнения |
|
|
|
|
|
|
= + |
′ + |
21 |
′; |
|
||
0 |
11 |
|
|
(16.6) |
||
= + |
′ + |
|
′. |
|||
21 |
|
|||||
0 |
12 |
|
|
|
|
|
Какие бы ни были две произвольные декартовы системы координат на плоскости, координаты произвольной точки плоскости относительно первой системы – линейные функции координат той же точки относительно второй системы
Геометрическое истолкование коэффициентов разложения
координатных ортов: |
|
|
̂ |
̂ |
̂ |
11 = ( ′̅ )̅= ; 12 |
= ( ′̅ )̅= ; 21 |
= ( ′̅ )̅ |
̂
= − ; 22 = ( ′̅ )̅= ;
6 из 32
Искомые формулы преобразования новых координат в ста-
рые |
|
|
|
= |
+ ′ − ′; |
|
|
0 |
|
(16.7) |
|
= |
+ ′ + ′. |
||
|
|||
0 |
|
|
Формулы преобразования старых координат в новые
′ = ( − 0) + ( − 0); |
(16.8) |
|
′ = −( − 0) + ( − 0). |
||
|
Преобразование координат при параллельном переносе системы координат
= ′ + ; |
|
|
0 |
(16.9) |
|
= ′ + . |
||
|
||
0 |
|
7 из 32
Преобразование координат повороте на угол (против хода часовой стрелки)
= ′ − ′; |
(16.10) |
|
= ′ + ′. |
||
|
8 из 32
16.2. Общее алгебраическое уравнение
Рассмотрим общее алгебраическое уравнение второго порядка на плоскости в некоторой системе координат
11 2 + 212 + 22 2 + 213 + 223 + 33 = 0. (16.11)
Если рассматривать это уравнение, как геометрический объект, то он не меняется при переходе от одной системы координат к другой.
9 из 32
16.3. Параллельный перенос
Рассмотрим преобразование уравнения линии (16.11) при параллельном переносе. Для этой цели подставим в уравнение линии (16.11) выражения (16.9). Получим
11( ′ + 0)2 +′ 2 12( ′ + 0)( ′′ + 0) + 22( ′ + 0)2 (16.12) + 2 13( + 0) + 2 23( + 0) + 33 = 0
Раскроем скобки и приведем подобные члены
′11 ′2 + 2 ′12 ′ ′ + ′22 ′2 + 2 ′13 ′ + 2 ′23 ′ + ′33 (16.13) = 0.
Выпишем выражения для коэффициентов линии в новой системе координат
10 из 32