Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ильин / 01. Производная и дифференциал функции.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

1.12. Дифференциалы элементарных функций

Таблица 1.3. Дифференциалы элементарных функций

	№	(	)		(	)		№	(	)	(				)
	№							№
1					0		12


												√1 − 2
2					−1		13
2							13				−


														√1 − 2
3							14
3							14
		√
													1 + 2
				2									1 + 2
					√

48 из 66

	№		(	)					( )			№	(	)				( )
	№											№
4			1		−						15				−

																	1 + 2
								2√		3							1 + 2
		√						2√
5			1								16
5			1			−					16

									2
6											17
6											17

7					−						18

8											19

						2
9					−						20

							2									2

49 из 66

	№	(	)	(	)		№	(	)			(	)
	№						№
10						21
10						21
										−
										−	2
11						22

50 из 66

1.13. Правила вычисления дифференциалов

Таблица 1.4.

Правила вычисления дифференциалов

№

Функция

Дифференциала

Комментарий

( ) + ( )

Дифференциал

суммы

( ) − ( )

Дифференциал

разности

( ) ( )

( ) ( ) + ( ) ( )

Дифференциал

( )

произведения

( )

( ) ( ) − ( ) ( )

Дифференциал

( )

2( )

частного

51 из 66

			Дифференциал
6	( ( ))	′( ( )) ( )	сложной функ-
			ции

52 из 66

1.14. Приближенные вычисления с помощью

дифференциала

Дифференциал – главная линейная часть приращения функ-

ции. Следовательно, выполняется
∆( 0) ( 0) = ′( 0).	(1.19)

Левая часть равна ∆( 0) = ( 0 + ∆) − ( 0). Тогда фор-

мула приближенного вычисления принимает вид
( 0 + ∆) ( 0) + ′( 0).	(1.20)

Если воспользоваться геометрической интерпретацией производной и дифференциала (см. рис. 1.1), то вместо нахождения ординаты точки P, лежащей на графике функции, находится ордината точки E, лежащей на касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой 0.

53 из 66

Пример 1.14. Пользуясь дифференциалом, приближенно вы-

числить 3 7.94.

√

Решение. Выберем функцию = 3 . Таким образом, задача

√

сводится к приближенному вычислению частного значения

функции = 3 в точке = 7.94. Воспользуемся свойствами

√

дифференциала функции (1.20). Для применения формулы приближенного вычисления функции следует выбрать точку 0, руководствуясь следующими правилами: в этой точке частное значение функции достаточно просто вычисляется и эта точка близка к точке = 7.94. Этим условиям удовлетворяет, например, точка 0 = 8. Тогда приращение аргумента равно ∆ == − 0 = 7.94 − 8 = −0.06. Формула приближенного вычисления заданного числа принимает вид

54 из 66

3		3	1	(	)	0.06
3		3	1			0.06


√7.94 √8 +			3		−0.06 = 2 −	12	= 1.995.
	3		√82			12

Полученный результат имеет простое геометрическое истол-

кование: график функции = 3 в окрестности точки = 8 √ 0

приближается графиком прямой линии – касательной, для которой и находится значение в точке = 7.94.

Замечание. В частности, с учётом (1.20) справедливы следу-

ющие приближенные формулы. Для степенной функции
(1 + ∆ ) 1 + ∆ .	(1.21)

Для тригонометрических функций

55 из 66

	(∆ )2	(1.22)
∆ ∆ ; ∆ ∆ ; ∆ 1 −	2 .

Для показательной и логарифмической функций
∆ 1 + ∆ ; −∆ 1 − ∆ .	(1.23)

(1 + ∆ ) ∆ ; (1 − ∆ ) −∆ .	(1.24)

56 из 66

1.15. Производные и дифференциалы высших

порядков

Определение 1.6. Производной –го порядка функции =( ) называют её первую производную от производной − 1 – го порядка

′
( )( ) = ((−1)( )) .	(1.25)

Если функция имеет конечную –ю производную, то говорят, что функция раз дифференцируема.

( )( ); ( ); .

Пример 1.15. Найти производную – го порядка степенной функции = .

Решение. Последовательно дифференцируем

57 из 66

′ = −1; ′′ = ( − 1) −2.

(	)( )	(	)(	)	(	)	−	.	(1.26)
		=	− 1 − 2 …			− + 1		.
Частные случаи =
	( )( ) = !; ( )( ) = 0, > .								(1.27)

Пример 1.16. Найти производную – го порядка показательной функции = .

Решение. Последовательно дифференцируем

′ = ; ′′ = 2.

( )( ) = .

(1.28)

58 из 66

( )( ) = .

(1.29)

Пример 1.17. Найти производную – го порядка тригонометрической функции = .

Решение. Последовательно дифференцируем

′ = cosx = sin ( + 2) ; ′′ = cos ( + 2) = sin ( + 2 2).

( )( )


= sin ( +	2).	(1.30)


= ( +	2).	(1.31)

59 из 66

Формула Лейбница – вычисление производной – го порядка произведения двух функций


( )( ) = ∑ ( ) ( − ).	(1.32)

=0

Пример 1.18. Найти производную 5– го порядка функции

= 2 .

Решение. Находим производные сомножителей

= 2; ′ = 2 ; ′′ = 2; ′′′ = 0.

= ; ′ = ; ′′ = − ; ′′′ = − ; = ;

60 из 66

( 2 ) = 2 + 51 2 + 51 42 2 (−) =

= 2 + 10 − 20 .

Определение 1.7. Дифференциалом –го порядка функции= ( ) называют её первый дифференциал от дифференциала − 1 –го порядка

( ) = ( −1 ( )).

(1.33)

Два случая. Первый – аргумент функции – независимая переменная

2 ( ) = (( )) = (′( ) ) = ( ′( ) )′ = (′( ))′ = ′′( )( )2 = ′′( ) 2.

61 из 66

2 ( )′′( ) = 2 .

Обобщение

( )( ) = ( ).

Второй случай - аргумент зависимая переменная

2 ( ) = (( )) = ( ′( )) + ′( ) ( ) =

=( ′( ) )′ = (′( ))′ = ′′( )( )2

=′′( ) 2.

62 из 66

1.16. Дифференцирование функции, заданной

параметрически

Одним из способов задания функции является параметрическая запись, при которой функция и её аргумент задаются как функции от ещё одной переменной – параметра

	= ( );
	{ = ( );	.				(1.34)
Например, каноническое уравнение эллипса			2	+	2	= 1 в па-
Например, каноническое уравнение эллипса			2	+	2	= 1 в па-

раметрическом виде записывается следующим образом

= ;

{= ; [0,2].

63 из 66

В дальнейшем будем предполагать, что функции ( ) и ( ) имеют необходимое число производных по переменной в рассматриваемой области её изменения.

Дополнительно потребуем, чтобы функция = ( ) в окрестности рассматриваемой точки имела обратную функцию = −1( ). Это допущение позволяет рассматривать переменную как функцию аргумента . Поставим задачу о нахождении производных переменной по аргументу .

Для обозначения производных явно будем указывать переменные, по которым она вычисляется.

Воспользуемся инвариантностью первого дифференциала

′ = ; = ′( ); = ′( ).

Эти соотношения приводят к выражению для первой производной

64 из 66

′			′(	)
	=				.	(1.35)

		′( )

Если воспользоваться определением второй производной, то получаем

					′( )	′
			( ′)		( ′( ))
′′	= ( ′)′	=		=			.
′′	= ( ′)′	=		=			.
					′( )
					′( )

Пример 1.19. Найти первую и вторую производные функции, заданной параметрически

= ;

{= ; [0,2].

Решение. Находим, пользуясь правилом дифференцирования функции, заданной параметрически

65 из 66

′

( )′

= −

;

( )′

−

′

(−

(− )

−

)

′′

= ( ′)′

= −

( )′

−

2 3

66 из 66

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в папке Ильин

#
15.04.20151.26 Mб4201. Производная и дифференциал функции.pdf
#
15.04.2015764.84 Кб3601. Числовые последовательности.pdf
#
15.04.20151.38 Mб6002. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.pdf
#
15.04.2015943.89 Кб3602. Функции. Предельное значение функции.pdf
#
15.04.20151.5 Mб3403. Исследование графика функции.pdf
#
15.04.2015845 Кб3404. Элементы общей теории СЛАУ.pdf