- •1.1. Определение производной
- •1.2. Производные элементарных функций
- •1.3. Интерпретации производной
- •1.3.1. Механическая интерпретация производной
- •1.3.2. Электрическая интерпретация производной
- •1.3.3. Геометрическая интерпретация производной
- •1.4. Односторонние производные
- •1.5. Дифференцируемость функции
- •1.6. Правила дифференцирования
- •1.8. Производная обратной функции
- •1.9. Производная сложной функции
- •1.10. Логарифмическая производная
- •1.12. Дифференциалы элементарных функций
- •1.13. Правила вычисления дифференциалов
1.10. Логарифмическая производная
Под логарифмической производной понимается производная логарифма функции
[ |
|
( |
|
)]′ |
|
[ |
|
]′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= . |
(1.15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 1.12. Найти производную сложной показательной функции = f(x)g( ).
Решение. Логарифмируем
= ( ) (x) = (x) ( ).
Дифференцируем
( )′ = ( (x) ( ))′.
Вычисляем производные
43 из 66
|
|
′ |
|
′( ) |
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
′( ) |
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
+ |
|
( ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Находим производную исходной функции |
|
||||||||||||||||||
|
′ = (′( ) ( ) + ( ) |
′( ) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||
( ) |
|
||||||||||||||||||
Подставляем выражение для переменной |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
′ = ( ) ( ) (′( ) ( ) + ( ) |
′( ) |
|
||||||||||||||||
|
|
) . |
(1.16) |
||||||||||||||||
( ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.13. Найти производную степенной функции с произвольным показателем = .
Решение. Логарифмируем
= = .
44 из 66
Дифференцируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляем производную |
|
|
|
|
||||
′ = |
1 |
|
= |
|
1 |
= −1 |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
( )′ = −1 |
(1.17) |
|||||||
45 из 66
1.11. Инвариантность формы записи первого
дифференциала
Определение дифференциала для функции = ( ) |
|
= ′( ) |
(1.18) |
Здесь предполагается, что – независимая переменная В случае сложной функции = [ ( )] производная нахо-
дится по правилу производной сложной функции
′ = ′[ ( )] ′( ).
Для нахождения дифференциала – следует умножить на дифференциал независимой переменной
= ′ = ′[ ( )] ′( ) = ′[ ( )] ′( ) = = | = ′( ) | = ′[ ( )].
Сравнение последних выражений показывает их идентичность – форма записи первого дифференциала не зависит от
46 из 66
того, по какой переменной он вычисляется: по независимой или зависимой .
47 из 66