1.9. Производная сложной функции
Теорема 1.5. Пусть функции = ( ) дифференцируема в некоторой окрестности точки 0, а функция = ( ) дифференцируема в соответствующей точке 0. Тогда сложная функция [ ( )] дифференцируема в точке 0, причем для её
производной справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
[ |
|
( |
0 |
)])′ |
= ′ |
( |
0 |
) |
′ |
( |
0 |
) |
. |
(1.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство. Воспользуемся определением производной. Придадим аргументу t в точке произвольное, отличное от нуля приращение ∆t. Этому приращению соответствует приращение ∆ функции x = g(t), которое, в свою очередь, соответствует приращению ∆ функции y = f(x) в точке x0 = (t0).
39 из 66
Поскольку функция y = f(x) дифференцируема, то её приращение записывается в виде
∆ = f |
′( |
x0 |
) |
∆ + ∆ , lim = 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ →0 |
||
Делим на ∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
= f′(x0) |
∆ |
+ |
∆ |
. |
|||
|
∆t |
∆t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
∆t |
|||||
Переходим к пределу при ∆t → 0 в правой части
∆
lim ∆t = g′(t0).
∆t→0
Следовательно, существует предел правой части, для которого выполнятся искомое равенство
40 из 66
lim |
|
∆ |
|
= lim (f |
′(x0) |
∆ |
+ |
∆ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∆t |
∆t |
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∆t→0 |
|
|
∆t→0 |
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= f |
′( |
x0 |
) |
lim |
|
+ lim lim |
|
= f |
′( |
) |
g |
′( |
t0 |
) |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
∆t |
|
∆t |
x0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆t→0 |
|
|
∆t→0 ∆t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Замечание. Удобно записать формулу в следующем виде
( [ ( )])′ = | = ( )| = ′( ) ′( )
Пример 1.10. Найти производную функции = .
Решение.
( )′ = | |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
| = |
= |
|
. |
|||||
= |
|
|
|
|
||||
|
|
√1 − 2 |
|
√1 − 2 |
|
|||
41 из 66
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
. |
||
Пример 1.11. Найти производную функции = 5 |
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
′ |
= 5 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||
(5 |
) = | = | = 5 |
|
5 |
|
8 |
|
= |
|
|||
|
1 + 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
= 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
8 7 5. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 + 16 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
42 из 66