1.8. Производная обратной функции
Теорема 1.4. Пусть функция = ( ) в некоторой окрестности точки 0 возрастает (убывает), является непрерывной. Кроме того, функция = ( ) дифференцируема в точке 0 и её производная ′( 0) отлична от нуля. Тогда обратная функция = −1( ) в некоторой окрестности точки 0 = ( 0) определена, дифференцируема в самой точке 0 и имеет произ-
водную, равную 1 .
′( 0)
Доказательство. Для функции y = f(x) в окрестности точки x0 выпонены все условия существования непрерывной обратной функции x = f−1(y) в некоторой окрестности точки y0 = f(x0).
35 из 66
Придадим аргументу y этой обратной функции произвольное отлично от нуля приращение ∆y. Ему соответствует приращение ∆ обратной функции. Справедливо
|
|
|
|
|
∆ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
∆ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
||
|
Перейдем к пределу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∆ |
= |
|
1 |
= |
1 |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||||||
|
|
∆ →0 |
∆ |
∆ →0 |
∆ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
∆ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ →0 |
|
|
|
|||||
|
Левая часть равенства - производная обратной функции |
||||||||||||||
f |
−1( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
. Теорема до- |
y |
. Правая часть – производная функции f |
x |
|||||||||||||
казана. Рисунок ниже иллюстрирует доказанную теорему: производные функции и ей обратной – тангенсы двух острых углов прямоугольного треугольника.
36 из 66
Рис. 1.2. Производная обратной функции. Геометрическая интерпретация
37 из 66
Пример 1.8. Найти производную показательной функции
= .
Решение. Воспользуемся результатами теоремы.= log – обратная функция.
(ax)′ = |
1 |
= |
|
1 |
|
= = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
(log )′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.9. Найти производную обратной тригонометрической функции = .
Решение. Воспользуемся результатами теоремы. = – обратная функция.
( |
|
)′ |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= ( )′ |
= |
= |
|
|
= |
|
|
. |
||||||
|
|
|
√1 − 2 |
|
|
√1 − 2 |
|||||||||
38 из 66