1.6. Правила дифференцирования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила дифференцирования |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
№ |
|
|
Функция |
|
|
|
|
Производная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комментарий |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( |
|
) |
+ |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
( |
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
Производная |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ′ |
|
|
|
|
|
|
|
суммы |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
( |
|
) |
− |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
( |
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
Производная |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ′ |
|
|
|
|
|
|
|
разности |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
|
|
′ |
( |
|
) |
|
( |
|
) |
+ |
( |
|
) |
|
( |
) |
|
|
Производная |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
′( |
|
) |
|
( |
|
) |
− |
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
Производная |
||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частного |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
26 из 66
6
7
8
8
9
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
−1( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная об- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
ратной функции |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
( |
|
) |
) |
|
′( |
( |
|
) |
( |
|
|
) |
|
|
|
Производная |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) ′ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
( |
+ |
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
сложной функ- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
′ + |
|
|
|
|
|
|
ции |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )( ( )) ( )−1 ′( ) |
|
Производная |
|||||||||||||||||||
( ( )) ( ) |
|
сложной показа- |
|||||||||||||||||||||||||||||
+ ( |
( |
|
) |
) |
( ) |
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
тельной функ- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
ции |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 из 66
|
|
|
|
|
|
|
Производная |
10 |
{ = ( ) |
′ |
= |
′( ) |
|
функции, задан- |
|
|
|
||||||
|
= ( ) |
|
|
′ |
( ) |
ной параметри- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чески |
|
|
|
|
|
|
|
|
28 из 66
1.7. Дифференцирование суммы, разности,
произведения и частного функций
Теорема 1.3. Если функции ( ) и ( ) дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что g( ) ≠ 0) также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы 1-6 табл.1.2.
Доказательство. Выведем правило дифференцирования суммы.
Пусть ( ) = ( ) ± g( ). Обозначим символами ∆ и ∆ – приращения функций ( ) и g( ) в данной точке , соответствующей приращению ∆ . Тогда выполняется
29 из 66
∆ = ( + ∆ ) − ( ) =
=[ ( + ∆ ) ± g( + ∆ )] − [ ( ) ± g( )] =
=[ ( + ∆ ) − ( )] ± [ ( + ∆ ) − ( )] = ∆ ± ∆ .
Таким образом, при ∆ ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
∆ |
|
∆ ± ∆ |
|
∆ |
|
∆ |
|
|
|
= |
|
= |
|
± |
|
. |
|
∆ |
∆ |
∆ |
∆ |
||||
Пусть теперь ∆ → 0. Тогда в силу существования производных функций ( ) и g( ) существует предельное значение правой части, равное ′( ) ± g′( ). Следовательно, существует и предельное значение левой части. Последнее означает, что
( ( ) ± ( ))′ = ′( ) ± g′( ).
Это и доказывает теорему.
30 из 66
Пример 1.5. Пользуясь определением, найти производную тригонометрической функции ( ) = .
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
2 + ∆ |
|
∆ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ ∆ |
− = −2 |
2 |
|
|
2 |
; |
|
|||||||
|
∆ = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
∆ |
|
−2 ( + ∆ ) |
∆ |
|
∆ |
|
|
∆ |
|
||||||
|
|
= |
|
2 |
|
2 |
= − ( + |
|
) |
2 |
; |
|||||
|
∆ |
|
∆ |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
31 из 66
|
∆ |
|
|
∆ |
∆ |
|
||||||
lim |
|
= − lim ( + |
|
|
|
) |
|
2 |
|
= |
|
|
∆ |
2 |
|
∆ |
|
|
|||||||
∆ →0 |
∆ →0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= − lim ( + |
) lim |
2 |
= − . |
||||||||
|
|
∆ |
||||||||||
|
|
∆ →0 |
2 |
|
|
∆ →0 |
|
|||||
2
Пример 1.6. Пользуясь правилами дифференцирования, найти производную тригонометрической функции ( ) = .
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
|
)′ |
|
|
′ |
|
( )′ − ( )′ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= ( ) |
= |
|
2 |
= |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( ) − (−) |
1 |
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||
32 из 66
Пример 1.7. Пользуясь правилами дифференцирования найти производную логарифмической функции ( ) = .
Решение. Воспользуемся определением. Найдем приращение функции
|
|
∆( ) = ( + ∆) − ( ) = ( + ∆) − |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ ∆ |
= |
|
(1 + |
∆ |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим разностное отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
) |
|
(1 + |
∆ ) |
|
|
|
(1 + |
∆ ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∆ |
|
= |
1 |
|
1 |
(1 + |
∆) , |
||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а затем и предел разностного отношения (учтен факт непрерывности функции логарифма)
33 из 66
lim |
∆ |
= lim |
|
∆ |
|||
∆ →0 |
∆ →0 |
1 =
Окончательно
|
1 |
|
(1 + |
∆ |
) |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|||
|
lim (1 + |
) |
∆ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
∆ →0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
∆ |
||
= |
|
lim (1 + |
|
) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
∆ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 = .
1 ( )′ = .
34 из 66