- •1.1. Определение производной
- •1.2. Производные элементарных функций
- •1.3. Интерпретации производной
- •1.3.1. Механическая интерпретация производной
- •1.3.2. Электрическая интерпретация производной
- •1.3.3. Геометрическая интерпретация производной
- •1.4. Односторонние производные
- •1.5. Дифференцируемость функции
- •1.6. Правила дифференцирования
- •1.8. Производная обратной функции
- •1.9. Производная сложной функции
- •1.10. Логарифмическая производная
- •1.12. Дифференциалы элементарных функций
- •1.13. Правила вычисления дифференциалов
1.4. Односторонние производные
Определение 1.3. Правой (левой) производной функции =( ) в некоторой точке называют правое (левое) предельное значение разностного отношения в точке
( |
+ 0 |
) |
= |
|
∆ ( ) |
; |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
′ |
|
|
∆ |
|||||
|
|
|
|
∆ →+0 |
|
(1.8) |
||
|
|
|
|
|
|
∆ ( ) |
||
( |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
. |
|||
′ − 0 = |
|
∆ |
||||||
|
|
|
|
∆ →−0 |
|
|
||
Замечание. Если функция в точке имеет производную, то она в этой точке имеет и равные ей односторонние производные. И обратно, если функция в точке имеет равные односторонние производные, то она в этой точке имеет и саму производную
20 из 66
Пример 1.4. Пользуясь определением, найти односторонние производные функции ( ) = | | в точке = 0.
Решение. Найдем левую производную. Фиксируем точку= 0, находим ней частное значение (0) = |0| = 0. Выбираем отрицательное приращение аргумента ∆ . Вычисляем значение
функции в точке 0 + ∆ : |
(0 + ∆ ) = |0 + ∆ | = |∆ | = −∆ , |
||||||
левое разностное отношение |
|
|
|
||||
|
( |
|
) |
|
−∆ |
|
|
|
∆ |
0 |
= |
= −1, |
|||
|
∆ |
|
∆ |
||||
и его предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0 |
) |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
( |
) |
|
lim |
|
|
= |
lim |
|||
∆ |
−1 |
= −1. |
|||||
∆ →−0 |
|
|
∆ →−0 |
|
|||
21 из 66
Теперь правая производная в точке ноль. Выбираем положительное приращение аргумента ∆ . Вычисляем значение функ-
ции в точке 0 + ∆ : (0 + ∆ ) = |0 + ∆ | = |∆ | = ∆ , правое разностное отношение
|
|
( ) |
|
|
∆ |
||||
|
∆ 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
= 1, |
||
|
|
∆ |
|
|
∆ |
||||
и его предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
( |
0 |
) |
|
|
||
lim |
|
|
|
= lim 1 = 1. |
|||||
∆ |
|
|
|||||||
∆ →+0 |
|
|
|
∆ →−0 |
|||||
Вывод: односторонние производные существуют, но не равны. Следовательно, функция в точке = 0 не имеет прозводную.
22 из 66
1.5. Дифференцируемость функции
Определение 1.4. Функцию = ( ) называют дифференцируемой в данной точке , если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента ∆ , представимо в виде
∆ = ∆ + ∆ . |
(1.9) |
|
|
Здесь – некоторое число, не зависящее от ∆ , α – функция аргумента ∆ , являющаяся бесконечно малой при ∆ → 0.
Поскольку произведение двух бесконечно малых – бесконечно малая более высокого порядка малости, то α ∆x = о(∆x). Тогда определение дифференцируемости принимает вид
∆ = ∆ + о(∆x). |
(1.10) |
|
|
23 из 66
Теорема 1.1. Для того чтобы функция = ( ) была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную
∆ = ′ |
) |
∆ + ∆ . |
(1.11) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом понятия существования производной у функции и её дифференцируемости тождественны.
Теорема 1.2. Если функция = ( ) дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
24 из 66
Определение 1.5. Дифференциалом функции = ( ) в точке , соответствующим приращению аргумента ∆, называют главную линейную относительно ∆ часть приращения функции в этой точке
= ′( ) ∆ . |
(1.12) |
Для функции = x предыдущая формула принимает вид= ∆ и поскольку = x, то выполняется ∆ = : приращение независимой переменной ∆x равно её дифференциалу x, и определение дифференциала принимает окончательный вид
= ′( ) . |
(1.13) |
|
|
25 из 66