1.3. Интерпретации производной
1.3.1. Механическая интерпретация производной
Пусть функция = ( ) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, - время, – путь, пройденный к моменту времени . Приращение функции - ∆ = ( + ∆ ) −( ) - путь, пройденный за интервал времени ∆ . Разностное от-
ношение ∆∆ - средняя скорость движения на интервале времени
( , + ∆ ). Производная ′( ) – мгновенная скорость материальной точки в момент времени .
1.3.2. Электрическая интерпретация производной
Пусть функция = ( ) определяет количество электричества протёкшего через поперечное сечение проводника за время. Приращение функции - ∆ = ( + ∆ ) − ( ) – изменение
13 из 66
количества электричества за интервал времени ∆. Разностное отношение ∆∆ – средний ток на интервале времени (, + ∆).
Производная ′( ) – мгновенный ток в проводнике в момент времени .
1.3.3. Геометрическая интерпретация производной
На оси абсцисс выберем произвольную точку 0 и отметим на графике функции точку с координатами (0, ( 0)). Если ∆ – произвольное приращение аргумента, то 0 + ∆ – новое или смещённое значение аргумента. Тогда точка с координатами (0 + ∆ , ( 0 + ∆)) также лежит на графике функции. Проведем через две точки и прямую (секущую). Из прямо-
14 из 66
угольного треугольника MNP получаем, что угловой коэффици-
ент этой прямой равен |
= ((∆)) = |
∆ ( 0) |
. Тогда уравне- |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
ние секущей имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) + |
|
∆( 0) |
( − ). |
(1.4) |
||
|
|
||||||
|
0 |
|
∆ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим процесс стремления приращения аргумента ∆ к нулю. Это означает, что точка , оставаясь на графике функции будет приближаться к точке . Секущая будет вращаться вокруг точки . И в тот момент когда приращения аргумента станет равным нулю, она займет некоторое предельное положение.
15 из 66
Определим касательную к графику функции в точке как предельное положение ее секущей , при приближении точкик точке .
16 из 66
Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация производной и дифференциала
17 из 66
Если функция имеет производную в точке , то существует предел её разностного отношения в этой точке, который равен производной функции в точке
∆ ( 0)
lim ∆ = ( (∆ )) = ( 0)
∆ →0
или
( 0) = ′( 0). |
(1.5) |
Таким образом с геометрической точки зрения производная функции ′( 0) в некоторой точке 0 - тангенс наклона касательной, проведенной к графику функции через точку графика с абсциссой 0. Само уравнение касательной имеет вид
= ( 0) + ′( 0)( − 0). |
(1.6) |
18 из 66
Замечание. Одновременно с касательной определена и другая прямая, проходящая через точку касания - нормаль, составляющая с касательной прямой угол. Уравнение нормали может быть получено, из условия перпендикулярности двух прямых: произведение их угловых коэффициентов равно минус единице
= ( 0) − |
1 |
|
( − 0). |
(1.7) |
|
′( 0) |
|||||
|
|
|
|||
19 из 66