1.Дифференциальное исчисление
1 из 66
Рассматриваются понятия производно, дифференциала и простейшие задачи решаемые с помощью аппарата производных.
2 из 66
1.1. Определение производной
Пусть функция = ( ) определена на некотором интервале. Выберем некоторую точку этого интервала и придадим переменной произвольное приращение ∆, такое, что точка+ ∆ также принадлежит интервалу.
Определение 1.1. Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента ∆, назовем число
∆ = ( + ∆) − ( ). |
(1.1) |
Замечание. Для того чтобы функция = ( ) была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы приращение этой функции ∆ в точке , соответствующее приращению аргумента , являлось бесконечно малым.
3 из 66
Рассмотрим отношение приращения функции нию аргумента ∆ (разностное отношение)
∆ |
= |
( + ∆ ) − ( ) |
. |
|
|
||
∆ |
∆ |
∆ к прираще-
(1.2)
Определение 1.2. Производной функции = ( ) в фиксированной точке называют предел при ∆ → 0 разностного отношения (1.2) (при условии, что этот предел существует)
Используется обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
( |
+ ∆ |
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
′( ) = lim |
= |
lim |
|
|
− |
|
. |
(1.3) |
|||
∆ |
|
∆ |
|
|
|
|||||||
|
∆ →0 |
|
∆ →0 |
|
|
|
|
|
||||
Пример 1.1. Пользуясь определением, найти производную постоянной функции ( ) = .
4 из 66
Решение. Фиксируем точку , находим ней частное значение функции ( ) = . Придаем приращение аргументу ∆ , получаем смещённую точку + ∆ , находим в ней частное значение функции ( + ∆ ) = . Вычисляем приращение функции
∆ ( ) = ( + ∆ ) − ( ) = − = 0 и её разностное отноше-
ние
|
∆ ( ) |
= |
( + ∆ ) − ( ) |
= |
0 |
= 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
∆ |
|
|
∆ |
∆ |
|||
Переходим к пределу |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∆ |
= 0 = 0. |
|
|
||
|
|
∆ |
|
|
||||
|
|
∆ →0 |
∆ →0 |
|
|
|
||
Пример 1.2. Пользуясь определением, найти производную степенной функции ( ) = , .
5 из 66
Решение. Фиксируем точку , находим ней частное значение функции ( ) = . Придаем приращение аргументу ∆ , получаем смещённую точку + ∆ , находим в ней частное значение функции ( + ∆ ) = ( + ∆ ) . Вычисляем приращение функции
∆ ( ) = ( + ∆ ) − ( ) = ( + ∆ ) − = |
|
|
|||||||||
|
|
|
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
||
= |
|
((1 + ) |
− 1) = |
|
((1 + |
|
) − 1) |
||||
|
|
+ |
∆ |
||||||||
=( ∆ + (∆ )),
иеё разностное отношение
6 из 66
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
∆ |
( |
∆ |
) |
) |
|
|||||
|
∆( ) |
|
|
( + ∆) − ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
= |
|
|
+ |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|||||||
Переходим к пределу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
∆ |
( |
|
) |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∆ |
= |
|
|
|
|
+ |
∆ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∆ →0 |
∆ |
∆ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
( |
∆ |
) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
= ( |
|
|
|
+ |
|
|
|
) = ( |
+ 0) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆ →0 |
∆ |
|
|
∆ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= −1.
Пример 1.3. Пользуясь определением, найти производную тригонометрической функции ( ) = .
7 из 66
Решение. Фиксируем точку , находим в ней частное значение функции ( ) = . Придаем приращение аргументу ∆, получаем смещённую точку + ∆, находим в ней частное значение функции ( + ∆) = ( + ∆). Вычисляем приращение функции
∆( ) = ( + ∆) − ( ) = ( + ∆) − =
= 2 |
+ ∆ + |
|
|
+ ∆ − |
= |
||
|
2 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
= 2 |
2 + ∆ |
|
∆ |
, |
|
||
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|||||
и её разностное отношение
8 из 66
|
∆ |
( |
|
) |
|
|
( |
+ ∆ |
) |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
2 |
2 + ∆ |
|
∆ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
2 |
= |
||||||||||||||||
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + ∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходим к пределу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
2 + ∆ |
∆ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
||||||||
|
∆ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∆ →0 |
|
∆ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∆ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + ∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
= 1 = . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ →0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∆ →0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9 из 66