1 семестр. Вопросы по математике 2013/14 учебный год

1.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.1.Определители второго и третьего порядков. Формулы вычисления определителей.

1.2.Определитель произвольного порядка. Основные свойства определителей.

1.3.Системы линейных алгебраических уравнений. Решение СЛАУ по формулам Крамера.

1.4.Матрицы. Алгебраические операции над матрицами. Обратная матрица. Решение СЛАУ методом обратной матрицы. Ранг матрицы. Эквивалентные преобразования над матрицами. Теорема о базисном миноре. Определитель произведение двух матриц.

1.5.Системы линейных уравнений. Принцип суперпозиции (теорема о структуре решения СЛУА). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

1.6.Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Векторы. Линейные операции над векторами.

1.7.Линейно-независимые системы векторов. Линейная зависимость двух, трех и четырех векторов. Базис. Разложение по базису. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Размерность векторного пространства. Линейные операции над векторами к координатной форме.

1.8.Проекция вектора на ось. Свойства проекции вектора на ось. Компонента вектора по направлению оси

1.9.Скалярное произведение векторов. Свойства. Условия перпендикулярности и коллинеарности двух векторов.

1.10.Векторное произведение векторов. Свойства. Условия коллинеарности двух векторов.

1.11.Смешанное произведение векторов. Основные свойства. Условия компланарности трех векто-

ров.

1.12.Линейные, нормированные и метрические пространства. Норма и ее свойства. Метрика и ее свойства. Эвклидовы линейные пространства. Неравенство Коши – Буняковского. Неравенство треугольника (Минковского).

1.13.Плоскость. Различные виды уравнения плоскости в пространстве. Задачи о взаимном расположении плоскостей, угле между ними, расстоянии от точки до плоскости.

1.14.Прямая линия в пространстве. Направляющий вектор прямой. Различные виды уравнений прямой ли линии. Задачи о взаимном расположении прямых линий, угле между ними, расстоянии от точки до прямой линии. Угол между прямой и плоскостью Задачи о взаимном расположении прямой и плоскости.

1.15.Понятие об уравнении линии на плоскости. Различные виды уравнений прямой линии на плоскости. Взаимное расположение линий на плоскости. Угол между двумя прямыми линиями на плоскости. Расстояние от точки до прямой линии.

1.16.Кривые второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола). Их геометрические свойства, канонические уравнения. Исследование формы линии второго порядка по каноническому уравнению.

1.17.Приведение линии второго порядка к каноническому виду.

1.18.Поверхности второго порядка.

2.Введение в математический анализ

2.1.Комплексные числа. Общая форма записи. Арифметические действия над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы записи. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня целой степени из комплексного числа. Основная теорема алгебры.

2.2.Множества, элементарные действия с ними. Множество вещественных чисел. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани множеств. Точные грани. Свойства точных граней.

2.3.Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

2.4.Ограниченные, сходящиеся последовательности. Арифметические свойства пределов последовательностей. Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами.

2.5.Формула бинома Ньютона.

2.6.Монотонные последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности (достаточное условие). Число e .

2.7.Функция, область ее определения, способы задания. Сложные и обратные функции.

F:\РГРТУ\654200 (2007)\2013\Семестр 1\Программа экзамена по математике без билетов.docx

2.8.Предел функции в точке (определения по Гейне и Коши). Предел функции в бесконечности. Односторонние пределы. Ограниченность функции, имеющей предел. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций («О символика»). Первый и второй замечательные пределы.

2.9.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Непрерывность элементарных функций.

3.Дифференциальное исчисление функции одной вещественной переменной

3.1.Приращение функции. Разностное отношение. Определение производной. Геометрическая и физическая интерпретация производной функции. Касательная и нормаль к графику функции. Односторонняя производная.

3.2.Дифференцируемость функции. Необходимое и достаточное условия дифференцируемых функций.

3.3.Свойства дифференцируемых функций (производная суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций). Таблица правил дифференцирования. Вычисления производных простейших элементарных функций. Таблица производных. Производная обратной функции, сложной функции, сложной показательной функции и функции заданной параметрическим способом. Примеры нахождения производных.

3.4.Дифференциал функции. Таблицы дифференциалов функций и правил вычисления дифференциалов. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

3.5.Производная и дифференциал высших порядков. Формула Лейбница.

4.Основные теорема о дифференцируемых функциях

4.1.Теорема Ферма.

4.2.Теорема Ролля.

4.3.Теорема и формула Лагранжа.

4.4.Теорема Коши.

4.5.Теорема и формула Лопиталя. Раскрытие неопределенностей разного типа.

4.6.Теорема и формула Тейлора. Примеры разложения элементарных функций (sinx, cosx, ex, e-x, ln(1+x), ln(1-x), (1+x)α) по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

4.7.Монотонность функции (на множестве и в точке). Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Точки экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума функции.

4.8.Выпуклость графика функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости графика функции. Точки перегиба графика функции. Необходимые и достаточные условия существования точек перегиба графика функции.

4.9.Асимптоты графика функции. Наклонные асимптоты. Вертикальные асимптоты.

F:\РГРТУ\654200 (2007)\2013\Семестр 1\Программа экзамена по математике без билетов.docx

1.Системы линейных уравнений, решение методом обратной матрицы.

2.Монотонные последовательности. Определение. Достаточный признак сходимости монотонной последовательности.

Дополнительные вопросы

3.Формулы умножения и деления комплексных чисел, заданных в тригонометрической и показательной форме.

4.Привести пример 3 – х линейно зависимых и различных векторов в пространстве и на плоскости. Ответ обосновать.

5.Дифференциал функции. Применение дифференциала для приближенных вычислений. вы-

6. Производные первого и второго порядков функции, заданной в параметрической форме.

F:\РГРТУ\654200 (2007)\2013\Семестр 1\Программа экзамена по математике без билетов.docx