Ильин / 01. Числовые последовательности
.pdf
Теорема 1.17 (принцип сжимающих отображений). Пусть дана бесконечная система отрезков
[ 1, 1], [ 2, 2], … , [ , ], …
каждый последующий из которых содержится в предыдущем и пусть разность − (длина отрезка [ , ]) стремится к нулю при → +∞ . Тогда существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам системы одновременно.
Пример 1.7 (число e). Доказать существование предела последовательности {xn}, элемент которой определен равенством
1
= (1 + ) .
Решение. Воспользуемся формулой бинома Ньютона
31 из 39
|
|
! |
|
|
|
( + ) = ∑ − ; = |
. |
(1.18) |
|||
|
|||||
|
|||||
|
|
! ( − )! |
|
|
|
|
|
|
|
||
=0
Тогда элемент последовательности равен
|
|
|
1 |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
1 |
|
|
( |
|
)( |
|
|
|
|
|
) |
|
1 |
|
|||||||||
= 1 + |
+ |
|
− 1 |
|
|
+ |
|
|
|
− 1 − 2 |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
)( |
|
|
|
) [ |
− |
( |
)] |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+ |
|
− 1 − 2 … |
|
|
− 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Преобразуем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 2 + |
1 |
(1 − |
1 |
) + |
1 |
|
(1 − |
1 |
) (1 − |
2 |
) + |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
+ |
|
(1 − |
|
) (1 − |
|
|
) … (1 − |
|
|
). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
32 из 39
Аналогично, для следующего элемента последовательности
= 2 + |
1 |
(1 − |
1 |
) + |
1 |
(1 − |
1 |
|
) (1 − |
2 |
) + |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
+1 |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
+ 1 |
3! |
|
|
|
+ 1 |
|
|
+ 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
|
(1 − |
|
|
) (1 − |
|
|
) … (1 − |
|
) |
|
|
||||||||||||||||
! |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
1 |
|
(1 − |
1 |
) (1 − |
|
2 |
) … (1 − |
|
) |
. |
|||||||||||||||
( |
|
) |
|
+ 1 |
|
|
+ 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Сравнение приводит к результату
< +1.
Вывод: последовательность {xn} – возрастающая.
33 из 39
Далее, из неравенства 1! < 2 1−1 и того факта, что выражения
в скобках меньше единицы, получаем оценку сверху (используем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии)
< 2 + |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ + |
1 |
= 3 − |
1 |
< 3. |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
22 |
23 |
|
2−1 |
|
2−1 |
|||
|
|
|
||||||||
Таким образом последовательность {xn тающая и ограниченная сверху числом 3. сходится, и её предел не больше трех.
= lim (1 + 1) .
→∞
} монотонно возрасСледовательно, она
(1.19)
34 из 39
|
1 |
|
|
Пример 1.8. Вычислить (1 + |
|
) . |
|
2 |
|||
→∞ |
|
Решение. Применим результаты предыдущего примера и свойства предела
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
22 |
|||||
(1 + |
) |
= |1∞| |
= (1 + |
|
) |
|
= | = 2 | |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
→∞ |
2 |
|
|
|
→∞ |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
= (1 + |
|
) |
= √ (1 + |
|
|
) |
|
= . |
|||||||
|
|
||||||||||||||
→∞ |
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
√ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
35 из 39
1.4. Произвольные последовательности и
множества
Подпоследовательность – некоторая (бесконечная) часть последовательности.
Если последовательность { } сходится и имеет своим пре-
делом число , то и любая подпоследовательность { } этой последовательности сходится к тому же пределу.
1,2,3, … , n, … - последовательность натуральных чисел; 2,4,6, … ,2n, … - подпоследовательность чётных натуральных
чисел.
36 из 39
Если все подпоследовательности { } данной последовательности { } сходятся, то пределы всех этих подпоследовательностей равны одному и тому же числу. В частности, к этому же числу сходится и сама последовательность { }.
Определение 1.10. Точка называется предельной точкой последовательности { }, если в произвольное окрестности этой точки расположено бесконечно много элементов последовательности { }.
Теорема 1.18. У всякой ограниченной последовательности { } существует хотя бы одна предельная точка.
Последовательность
{4 − (−1) + 1} = 6,3 12 , 5 13 , 3 14 , 5 15 , 3 16 , …,
37 из 39
Имеем подпоследовательность нечетных элементов
{4 − (−1)2 −1 + 2 1− 1} = {5 + 2 1− 1} = 6,5 13 , 5 15 , …,
с предельной точкой 5, и подпоследовательность четных элементов
{4 − (−1)2 + 21 } = {3 + 21 } = 3 12 , 3 14 , 3 16 , …,
с предельной точкой 3.
Теорема 1.19 (Больцано – Вейерштрасс). Из произвольной ограниченной последовательности { } можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
38 из 39
1.5. Необходимое и достаточное условие
сходимости последовательности
Определение 1.11. Последовательность { } называют фундаментальной, если для произвольного положительного числа найдется номер ( ), такой, что для всех номеров , удовлетворяющих условию ≥ , и для всех натуральных чисел справедливо выражение
| |
− |
| < . |
(1.20) |
|
+ |
|
|
Теорема 1.20 (критерий Коши сходимости последова-
тельности). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
39 из 39