Теорема 1.10. Разность сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей { } и { }

Следствие. Конечная линейная комбинация сходящихся последовательностей – сходящаяся последовательность, предел которой равен линейной комбинации пределов исходных последовательностей

21 из 39

Теорема 1.11. Произведение сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей

{ } и { }

Лемма 1.1. Если последовательность { } сходится и имеет отличный от нуля предел, то, начиная с некоторого номера,

определена последовательность { 1 }, которая ограничена.

Теорема 1.12. Частное сходящихся последовательностей { } и { }, при условии, что предел { } отличен от нуля, есть

22 из 39

сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей { } и { }

Теорема 1.13. Если элементы сходящейся последовательно-

23 из 39

Теорема 1.14. Если элементы сходящихся последовательно-

Следствие. Если все элементы сходящейся последовательности { } принадлежат отрезку [ , ], то и её предел так же находится на этом отрезке.

Теорема 1.15 (предел зажатой последовательности).

Пусть { } и { } – сходящиеся последовательности, имеющие

24 из 39

общий предел a. Пусть, кроме этого, начиная с некоторого но-

Решение. Воспользуемся определением предела. Фиксируем положительное число . Из определения находим номер эле-

25 из 39

Для произвольного > 0 найдено число ( ) = 43 + 4 . То есть выполняется определение сходящейся последовательности

Пример 1.5. Вычислить 2− +1.

→∞ √ 4+1

Решение. Применим свойства предела

26 из 39

1.3. Монотонные последовательности

Определение 1.9. Последовательность { } называют неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий элемент этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего

≤ +1; ( ≥ +1).

В случае строгих неравенств говорят о возрастающей или убывающей последовательности

< +1; ( > +1).

Общее название – монотонные последовательности.

Теорема 1.16 (достаточный признак сходимости монотонной последовательности). Если неубывающая (невозрас-

тающая) последовательность { } ограничена сверху (снизу), то она сходится.

29 из 39

Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей последовательности {xn}. Пусть ̅– точная верхняя грань последовательности. Это означает что, все элементы последовательности подчиняются неравенству xn ≤ ̅. Для произвольного положительного числа найдется такой номер , что для всех > выполняется ̅− ≤ xn ≤ ̅, а значит и все последующие элементы также подчинены этому двойному неравенству, которое может быть записано в виде

|xn − ̅| < , ≥ .

Последнее означает, что ̅– предел последовательности. Теорема доказана.

Замечание. Условие ограниченности монотонной последовательности – необходимое и достаточное условие её сходимости.

30 из 39