Ильин / 01. Числовые последовательности

1. Предел последовательности

1 из 39

Рассматриваются числовые множества и последовательности, их свойства, понятие предела числовой последовательности, методы его нахождения.

2 из 39

Введем понятие числовой последовательности – одно из фундаментальных понятий в математике.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону вещественное

называют (числовой) последовательностью.

xn – элемент последовательности n – индекс (номер) элемента, { } – обозначение самой последовательности.

Пример последовательности {1} – последовательность, 1, 12,13,

…, 1,… - её элементы.

3 из 39

ностями.

Определение 1.2. Последовательность (1.1) называют ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное число (число ), что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству ≤ ( ≥ ).

Число M (число ) называют верхней гранью (нижней гранью) последовательности.

4 из 39

Рис. 1.1. Примеры ограниченных последовательностей

Определение 1.3. Последовательность (1.1) называют ограниченной с обеих сторон, если она ограничена и сверху и снизу. То есть существуют числа , , такие, что произвольный элемент последовательности (1.1) подчиняется двойному неравен-

ству ≤ ≤ .

5 из 39

Последовательности, для которых нарушается (1.2), хотя бы для одного элемента, называют неограниченными.

Последовательность 1, 2, 3, …, ,… - ограничена снизу произвольным числом не большим единицы m ≤ 1.

Последовательность −1, -4, -9, …, − 2,… - ограничена сверху произвольным числом не меньшим минус единицы ≥ −1.

Последовательность 1, cos2, cos3, …, ,… - ограничена и снизу и сверху произвольными числами не большим минус единицы ≤ −1 и не меньшим единицы ≥ 1.

Последовательность 0, 2, 0, …, (1 − (−1) ),… - ограничена снизу ≤ 0, но не ограничена сверху.

6 из 39

Определение 1.4. Наибольшая из всех нижних граней ограниченной снизу последовательности { } называют точной нижней гранью и обозначают символом (infinium - наинизшее)

= { }.

Определение 1.5. Наименьшая из всех верхних граней ограниченной сверху последовательности { } называют точной верхней гранью и обозначают символом (supremum - наивысшее)

= { }.

Замечание. Для произвольных числовых множеств так же определены понятия нижней и верхней граней. В частности выполняются соотношения

7 из 39

= (2; 11) = 2;

= [2; 11] = 11.

8 из 39

1.1. Бесконечно большие и бесконечно малые

последовательности

Определение 1.6. Последовательность { } называют бесконечно большой, если для произвольного положительного числа можно указать такой номер ( ), что при ≥ все элементы последовательности подчиняются неравенству

Всякая бесконечно большая последовательность не ограничена, обратное, вообще говоря неверно.

Пример 1.1. Доказать, что последовательность { 2 + } бесконечно малая.

Решение. Фиксируем положительное число . Находим число ( ) из определения (1.3)

| 2 + | > .

9 из 39

Потребуем, чтобы заведомо выполнялись неравенства

2 + > 2 > .

Определим число выражением = √ + 1.

Определение 1.7. Последовательность { } называют бесконечно малой, если для произвольного положительного числа можно указать такой номер ( ), что при ≥ все элементы

Для обозначения бесконечно малой последовательности будем применять обозначения

10 из 39