5.6. Линейная комбинация четырех векторов

Теорема 5.6. Произвольные четыре вектора (в пространстве) линейно зависимы.

Доказательство. Исключим случаи, когда какие-либо три вектора компланарны: линейная зависимость следствие предыдущей теоремы.

Приведем все четыре вектора к одному началу (см. рис. 5.5). Проведем через конец вектора ̅ плоскости, параллельные па-

плоскостей с прямыми, на которых лежат вектора, обозначим соответственно B, C, D.

26 из 49

Рис. 5.5. Аффинная система координат в пространстве

27 из 49

Из правила сложения векторов и из параллелограмма ODAE

следует ̅ = + . Из параллелограмма OBEC - = +

. Окончательно получаем

̅ = + + .

Так как вектор коллинеарен ненулевому вектору ̅ (они

принадлежат одной прямой), то в силу теоремы 5.1 найдется вещественное число такое, что

̅

= .

Аналогично для других векторов

= ̅,= ̅.

28 из 49

Подставляя правые части в выражение для вектора ̅ получаем

рема доказана.

Следствие 1. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.

29 из 49

Следствие 2. Каковы бы ни были некомпланарные вектора

, ̅и ̅для произвольного вектора ̅ найдутся такие вещественные числа λ, и , что справедливо равенство

30 из 49

5.7.Понятие базиса. Аффинная система

координат

Определение 5.13 (Аффинная система координат на плос-

кости). Два линейно независимых вектора и ̅, лежащие в некоторой плоскости , образуют на этой плоскости базис, если произвольный, лежащий в плоскости вектор ̅, может быть

представлен в виде некоторой линейно комбинации векторов и ̅.

Это означает, что произвольного лежащего в плоскости π вектора ̅ найдутся такие вещественные числа λ и , что справедливо равенство (5.3), правая часть которого называется разложением вектора по базису.

31 из 49

Любая пара в данной плоскости неколлинеарных векторов образует базис на этой плоскости.

Определение 5.14 (Аффинная система координат в про-

странстве). Три линейно независимых вектора , ̅и ̅образуют в пространстве базис, если произвольный вектор ̅ может быть представлен в виде некоторой линейно комбинации

векторов , ̅и ̅.

Это означает, что произвольного вектора ̅ найдутся такие вещественные числа λ, и , что справедливо равенство (5.4), правая часть которого называется разложением вектора по базису.

Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

32 из 49

В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве.

Итак, пусть , ̅и ̅– произвольный базис в пространстве, то есть произвольная тройка некомпланарных векторов. Тогда (по определению базиса) для произвольного вектора ̅ найдутся такие вещественные числа λ, и , что справедливо равенство

Принято называть это равенство разложением вектора ̅ по базису , ̅и ̅, а числа λ, и – координатами вектора относительно базиса , ̅и ̅.

33 из 49

Теорема 5.7. Координаты произвольного вектора в базисе определяются однозначно.

Доказательство. Допустим противное. Помимо (5.5) выполняется и соотношение

Основное значение базиса – линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами – координатами векторов.

34 из 49

Теорема 5.8. При сложении двух векторов их координаты (относительно произвольного базиса) складываются. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Теорема доказана.

35 из 49

Аффинная система координат в пространстве определяется

заданием базиса , ,̅̅и некоторой точки O, называемой началом координат.

Аффинными координатами произвольной точки M называют координаты вектора относительно базиса , ̅, ̅.

Таким образом каждый вектор может быть, и притом

единственным образом, разложен по базису , ̅, ̅. Следовательно, каждой точке пространства M однозначно соответствует тройка аффинных координат λ, и .

Определение базиса на плоскости, разложения вектора и аффинная система координат на плоскости определяются аналогично.

36 из 49

Пример 5.1. Найти разложение вектора ̅по базису, образованного векторами ̅ и .

Решение. Воспользуемся геометрическими соображениями (см. рис. 5.6).

Рис. 5.6. Пример 5.1

37 из 49

Пример 5.2. Пусть вектора ̅и ̅ неколлинеарны. Найти раз-

ложением вектора по векторам (по базису) ̅

̅ = 3 ̅− 4̅ = ̅−

̅ и ̅= 2 ̅− ̅.

Решение. Воспользуемся определением

̅

̅ = + ̅

Подставим выражение для векторов

3 ̅− 4̅ = ( ̅− ̅ ) + (2 ̅− ̅)

Раскроим скобки и сгруппируем в левой части

(3 − − 2 ) ̅+ (−4 + + )̅ = 0̅

3 − − 2 = 0; {−4 + + = 0.

Решая систему уравнений получим искомый ответ

38 из 49