5.5. Линейная комбинация трех векторов
Теорема 5.5. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.
Доказательство. Необходимость. Пусть три вектора , ̅ и̅
̅линейно зависимы. Это значит, что справедливо равенство
̅ ̅
̅ + + ̅= 0,
в котором хотя бы одно число, например , отлично от нуля. Докажем компланарность. Выразим вектор
|
− |
̅ |
− |
|
̅ = ( |
) + ( |
) .̅ |
||
Положим λ = (− ), = (− ). Тогда предыдущее равенство переписывается в виде (см. рис. 5.4)
̅
̅ = λ + ̅.
21 из 49
Рис. 5.4. Аффинная система координат на плоскости
22 из 49
Если все три вектора , ̅ и приведены к одному началу (см.
̅ ̅
рис. 5.4), то из предыдущего равенства следует, что вектор ̅равен диагонали параллелограмма, построенного на двух векто-
рах: на векторе ̅, «растянутом» в раз, и на векторе «растяну-
λ ̅
том в раз. Но это и означает, что вектора , ̅ и лежат в одной
̅ ̅
плоскости, то есть компланарны.
Достаточность. Пусть вектора , ̅ и компланарны. Исклю-
̅ ̅
чим случаи, когда какая-либо пара этих векторов коллинеарна.
Приведем все три вектора , ̅ и к одному началу. Проведем
̅ ̅
через конец вектора , прямые параллельные векторам ̅ и .
̅ ̅
Получим на прямых точки B и С. В силу правила сложения векторов получаем
̅ = + .
23 из 49
Вектор коллинеарен ненулевому вектору . В силу теоремы 5.1 выполняется = λ . Аналогично, для другой пары
коллинеарных векторов и ̅так же получаем = ̅. Тода для вектора запишем тождество
̅ = λ + ̅
или ему равносильное
(−1)̅ + λ + ̅= 0,̅
доказывающее теорему.
Следствие 1. Если три вектора некомпланарны, то они линейной независимы.
Следствие 2. Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора.
24 из 49
Следствие 3. Каковы бы ни были неколлинеарные вектора и ̅для произвольного вектора ̅, лежащего в одной плоскости с
векторами и ̅, найдутся такие вещественные числа λ и , что справедливо равенство
|
|
|
(5.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ = λ + ̅. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 из 49