5.3. Линейная зависимость векторов

Определение 5.10. Линейной комбинацией n векторов̅1, ̅2, … , ̅ называют сумму попарных произведений этих векторов на произвольные вещественные числа 1, 2, … ,

Определение 5.11. Вектора ̅1, ̅2, … , ̅ называют линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа

1, 2, … , , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация этих векторов (5.2) с указанными числами

обращается в ноль

1 ̅1 + 2 ̅2 + + ̅ = 0̅.

16 из 49

Определение 5.12. Вектора ̅1, ̅2, … , ̅ называют линейно независимыми, если их линейная комбинация (5.2) обращается в ноль лишь в случае, когда все числа 1, 2, … , равны нулю (тривиальный набор чисел).

Теорема 5.2. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то эти вектора линейно зависимы.

Доказательство. Не умаляя общности положим a̅1 = 0̅. Запишем линейную комбинацию

1 · 0̅ + 0 · ̅2 + + 0 · ̅ = 0̅.

Найдена нетривиальная линейная комбинация – система векторов линейно зависимая.

17 из 49

Теорема 5.3. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то и вся система линейно зависимая.

Доказательство. Пусть первые векторов a̅1, a̅2, … , a̅ линейно зависимы. То есть, для нетривиального набора чисел выполняется

λ1a̅1 + λ2a̅2 + + λsa̅s = 0̅.

Пополним левую часть этого тождества (не изменяя его)

λ1a̅1 + λ2a̅2 + + λsa̅s + 0a̅ + + 0a̅n = 0̅.

Последнее и доказывает линейную зависимость.

18 из 49

5.4. Линейная комбинация двух векторов

Теорема 5.4. Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

Доказательство. Необходимость. Пусть вектора и ̅ ли-

̅

нейно зависимы. Докажем их коллинеарность. По определению линейной зависимости найдутся такие числа λ и , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется

тора на вещественное число λ . По определению это означает,

что вектора и ̅ коллинеарны. Необходимость доказана.

̅

19 из 49

Достаточность. Пусть вектора и ̅ коллинеарны, докажем,

̅

что они линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов ̅ или

̅ нулевой, то эти вектора заведомо линейно зависимы. Остается

рассмотреть случай ненулевых векторов.

В силу теоремы 5.1 из коллинеарности векторов и ̅ сле-

̅

дует, что существует вещественное число λ, что выполняется

чает линейную зависимость. Достаточность и сама теорема доказаны.

Следствие 1. Если вектора и ̅ неколлинеарны, то они ли-

̅

нейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

20 из 49