7. Векторное произведение

1 из 23

Векторное произведение двух векторов – одно из основных понятий в линейной (векторной) алгебре. В его помощью определяются ортогональные вектора, площади и прочее.

Понятие векторного произведения первоначально появилось в механике. Если - сила, – вектор соединяющий точку с точкой , то их векторное произведение [ , ] - некоторый век-

тор, который называют моментом силы относительно точки

.

2 из 23

7.1. Ориентированные тройки векторов

Определение 7.1. Три вектора называют упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым и какой – третьим.

Вектора располагаем в порядке их следования

̅

̅, , .̅

Определение 7.2. Тройку некомпланарных векторов называют правой (левой), если выполнено одно из следующих условий:

1.если, приведенные к одному началу вектора располагаются как соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки;

3 из 23

2.если после приведения к общему началу третий вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой первыми двумя векторами, откуда кратчайший поворот от первого ко второму вектору кажется совершающимся против хода часовой стрелки (по часовой стрелке);

3.если, находясь внутри телесного угла образованного приведенными к общему началу векторами, мы видим поворот от первого вектора к второму, а от него и к третьему совершающимся против хода часовой стрелки (по часовой стрелке)

Приведенные условия эквивалентны.

Для компланарных векторов понятие правой или левой тройки теряет смысл.

4 из 23

Две тройки векторов имеют одну и ту же ориентацию, если они обе правые или левые.

Из тройки векторов можно составить следующие шесть упорядоченных троек

Определение 7.3. Аффинную или декартову систему координат называют правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

5 из 23

Рис. 7.1. Правая и левая системы координат

6 из 23

7.2. Векторное произведение двух векторов

Определение 7.4. Векторным произведением вектора ̅ на

̅ и удовлетворяющий следующим требованиям:

[̅, ]

3. вектор направлен так, что тройка ̅ - правой.

̅ ̅, , ̅

7 из 23

Рис. 7.2. Векторное произведение. Определение

8 из 23

Теорема 7.1 (Геометрическое свойство векторного произ-

ведения). Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения

Доказательство. Необходимость. Следует из самого опре-

деления векторного произведения: угол между коллинеарными

Достаточность. Пусть векторное произведение равно нулю. Докажем, что вектора коллинеарны. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов нулевой. Тогда, с учетом

неравенств | | ̅ , имеем

̅ > 0, | | > 0

9 из 23

̅ ̅ ̅

[̅, ] = 0 = 0 = 0 = ̅|| .

Теорема 7.2. Длина (модуль) векторного произведения ̅

[̅, ]

равна площади параллелограмма, построенного на приведен-

ных к общему началу векторах и ̅ как на сторонах.

̅

Доказательство. Следствие определения векторного произведения и правила вычисления площади параллелограмма.

Следствие. Если – орт векторного произведения ̅ , а

̅ [̅, ] S

- площадь параллелограмма, построенного на приведенных к

10 из 23