12.5. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые 1 и 2 заданы общими уравнениями

1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 = 0. Необходимо найти угол между этими прямыми.

Очевидно, этот вопрос сводится к определению угла между

их нормальными векторами 1 = ( 1, 1) и 2 = ( 2, 2) (или дополнительного угла до развернутого).

16 из 33

Рис. 12.4. Угол между прямыми

17 из 33

Из определения скалярного произведения

(1, 2) = | 1||2|.

Получим

Замечание. Выражения для определения угла между пря-

мыми не изменяться, если вместо нормальных векторов 1 и 2 использовать направляющие вектора 1 и 2.

18 из 33

12.6. Условия параллельности и

перпендикулярности прямых

Получим важные следствия.

Условие параллельности прямых означает выполнение условия коллинеарности их нормальных векторов или пропорциональности их координат

Условие перпендикулярности прямых означает ортогональность их нормальных векторов

19 из 33

12.7. Уравнение прямой, проходящей через две

заданные точки

Пусть прямая проходит через две точки 0( 0, 0), и1( 1, 1). Необходимо составить уравнение этой прямой.

Возьмем произвольную точку прямой M(, ) (см. рис.). То-

гда два вектора 0 и 0 1 принадлежат одной прямой, то есть коллинеарны. Необходимое условие коллинеарности двух векторов – существование такого числа , что выполняется

0 = 0 1.

Это и есть искомое уравнение прямой. Запишем его в координатной форме. Найдем координаты векторов

0 = ( − 0, − 0);

0 1 = ( 1 − 0, 1 − 0);

20 из 33

Подставим вектора в левую часть уравнения, а само смешанное произведение запишем в виде определителя

21 из 33