12. Прямая на плоскости

1 из 33

Прямая линия на плоскости - геометрический объект либо прямая на одной из координатных плоскостей, либо результат пересечения двух плоскостей. Приводятся различные формы уравнений прямой и решены типичные задачи.

2 из 33

12.1. Определение прямой. Векторное уравнение

прямой

Построим определение прямой, пользуясь терминами векторной алгебры. На прямой выберем некоторую фиксированную точку M0 и произвольную (текущую) M точку. Также зададимся ненулевым (направляющим) вектором q. Сформулируем правило, которым должны подчиняться все точки прямой.

Определение 12.1. Прямой на плоскости называют геометрическое место точек плоскости, для которых вектор, соединяющий фиксированную точку 0 геометрического места с произвольной точкой M геометрического места, коллинеарен ненулевому вектору

3 из 33

Рис. 12.1. Определение прямой на плоскости

4 из 33

Для вывода уравнение прямой на плоскости введем ДПСК. Пусть

- ненулевой направляющий вектор; 0( 0, 0) - фиксированная точка плоскости; (, ) – произвольная (текущая) точка плоскости; 0 = ( 0, 0) – радиус-вектор точки 0; = (, ) – ра-

диус-вектор точки ; 0 = − 0 = ( − 0, − 0).

Тогда из определения прямой (12.1) следует равенство

которое называют векторным уравнением прямой на плоскости. Величина t – параметр, принимающий произвольные значения.

5 из 33

Векторное уравнение (12.3) эквивалентно двум скалярным уравнениям для каждой из координат вектора

Эти уравнения называют параметрическими уравнениями прямой.

И, наконец, выражая из каждого уравнения (12.4) параметр t и приравнивая их друг другу получим ещё уравнение

- каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пример 12.1. Прямая проходит через две различные точки1(1, −1) и 2(1,0). Найти направляющий вектор прямой.

6 из 33

Решение. Согласно определению, направляющий вектор прямой коллинеарен самой прямой, а, значит, и произвольному

отрезку этой прямой. То есть, вектор 1 2 = (1,0) − (1, −1) = (0,1), как впрочем и любой ему коллинеарный, является направляющим вектором прямой.

7 из 33

12.2. Общее уравнение прямой

Возможен другой подход к определению прямой на плоскости.

Определение 12.2. Прямой на плоскости называют геометрическое место точек плоскости, для которых вектор, соединяющий фиксированную точку 0 геометрического места с произвольной точкой M геометрического места, ортогонален

ненулевому вектору

8 из 33

Рис. 12.2. Определение прямой на плоскости

9 из 33

Для вывода уравнения прямой на плоскости введем ДПСК. Пусть

- ненулевой нормальный вектор; 0( 0, 0) - фиксированная точка плоскости; ( , ) – произвольная (текущая) точка плоскости; 0 = ( 0, 0) – радиус-вектор точки 0; = ( , ) – ра-

диус-вектор точки ; 0 = − 0 = ( − 0, − 0).

Тогда из определения прямой (12.6) следует равенство

где = −Ax0 − By0 некоторая постоянная.

Это уравнение называют уравнением прямой в общей форме.

Таким образом выполняются следующие два утверждения.

1.Если на плоскости задана произвольная прямая, то в произвольной декартовой прямоугольной системе координат эта прямая задается уравнением первой степени.

2.Если на плоскости выбрана произвольная декартова прямоугольная система координат, то всякое уравнение первой степени определяет некоторую прямую.

Замечание. Направляющий и нормальный вектора взаимно ортогональны. Поэтому, зная один из них, второй может быть построен из условия обращения в ноль их скалярного произве-

дения. Например, если вектор нормали = ( , ), то направляющий вектор, может быть следующим = (− , ).

11 из 33