Ильин / 10. Прямая в пространстве
.pdf
10. Прямая в пространстве
1 из 20
Прямая линия - геометрический объект. Приводятся различные формы уравнений прямой и решены типичные задачи.
2 из 20
10.1.Определение прямой. Векторное уравнение
прямой
Построим определение прямой, пользуясь терминами векторной алгебры. На прямой выберем некоторую фиксированную M0 и произвольную (текущую) M точку. Также зададимся ненулевым (направляющим) вектором q. Сформулируем правило, которому должны обладать все точки, принадлежащие прямой.
Определение 10.1. Прямой в пространстве называют геометрическое место точек пространства, для которых вектор, соединяющий фиксированную точку 0 геометрического места с произвольной точкой M геометрического места, коллинеарен ненулевому вектору
|
|
|
|
|
|
|
(10. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 из 20 |
|
Рис. 10.1. Определение прямой в пространстве
4 из 20
Для вывода уравнение прямой в пространстве введем ДПСК. Пусть
|
̅ = ( , m, n) |
|
(10.2) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ненулевой направляющий вектор; 0( 0, 0, 0) - фиксированная точка прямой; ( , , ) – произвольная (текущая) точка прямой; 0 = ( 0, 0, 0) – радиус-вектор точки 0; = ( , , )
– радиус-вектор точки ; 0 = − 0 = ( − 0, − 0, −0).
Тогда из определения прямой (10.1) следует равенство
− ̅ − ̅= . |
|
0 |
0 |
Воспользуемся необходимым и достаточным условием кол- |
||
линеарности векторов, что приводит векторному уравнению |
||
− ̅= = ̅+ , |
(10.3) |
|
0 |
0 |
|
5 из 20
которое называют векторным уравнением прямой в пространстве. Величина t – параметр, принимающий произвольные значения. Векторное уравнение (10.3) эквивалентно трем скалярным уравнениям для каждой из координат вектора
|
= 0 + ; |
|
|
|
|
||
|
{ = 0 |
+ ; |
(10.4) |
|
= 0 |
+ . |
|
|
|
||
Эти уравнения называют параметрическими уравнениями прямой.
И, наконец, выражая из каждого уравнения (10.4) параметр t и приравнивая их друг другу получим ещё два уравнения
|
− 0 |
= |
− 0 |
= |
− 0 |
, |
|
|
(10.5) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 из 20
которые называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.
7 из 20
10.2.Общие уравнения прямой
Уравнения (10.5) - система двух линейных уравнение относительно координат точки M, например, следующих
− 0 |
|
= |
− 0 |
; |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
− 0 |
= |
|
− 0 |
. |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Каждое из уравнений описывает в пространстве плоскость. Значит, приведенные уравнения – две пересекающиеся плоскости. Таким образом приходим к выводу, что прямая в пространстве может быть задана системой двух пересекающихся (непараллельных и несовпадающих) плоскостей
|
{ 1 + 1 + 1 + 1 = 0; |
|
(10.6) |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
2 + 2 + 2 + 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 из 20 |
|
Этот способ определения прямой в пространстве называют общим уравнением прямой.
Замечание. Для того, чтобы две плоскости пересекались по одной прямой достаточно потребовать, чтобы их нормальные вектора не были коллинеарными: нарушалось хотя-бы одно равенство
1 = 1 = 1.2 2 2
Это эквивалентно, то скалярное произведение нормальных векторов отлично от нуля
[ 1, 2] ≠ 0̅.
Направляющий вектор прямой коллинеарен прямой, а значит и плоскости, в которой лежит прямая. Следовательно, направляющий вектор прямой коллинеарный двум пересекающимся
9 из 20
плоскостям, должен быть ортогонален нормальным векторам – коллинеарен их векторному произведению. В частности
̅ = [ 1, 2].
10 из 20