16.3. Контрольные испытания на надежность.

16.3.1. Задача контрольных испытаний: установить соответствие (или несоответствие) надежности партии изделий заданному уровню по результатам испытаний выборки.

При планировании этих испытаний задают:

- время испытаний t_и;

- объем выборки n;

- приемочное число С (максимальное допустимое число отказавших за время испытаний изделий, при котором партия принимается);

- риск заказчика β и (в общем случае) риск изготовителя α.

Контрольные испытания проводят одним из следующих методов:

- однократной выборки;

- последовательных испытаний (что является развитием метода однократной выборки);

- двукратной выборки.

Каждый из этих методов, являясь по сути выборочным, позволяет судить о характеристике всей генеральной совокупности N изделий на основании испытаний извлеченной путем случайного отбора из этой совокупности выборки объемом n < N.

Эта особенность контрольных испытаний предопределяетследующиериски: 1) забраковать по результатам испытаний годную партию с вероятностью α (риск изготовителя-поставщика); 2) принять с вероятностью β (риск заказчика) партию изделий, не отвечающих по уровню надежности заданным требованиям.

Рис. 16.3. Зависимость вероятности приемки партии p по результатам выборочного контроля от числа дефектных изделий в партии

Предположим, что в партии объемом N изделий D из них не выдержат испытаний в течение заданного времени t_и и откажут. При уровне дефектности Q = D/N вероятность p приемки партии по выборке будет зависеть от установленных значений приемочного и браковочного уровней дефектности (соответственно Q^/ и Q^//).

Если задана вероятность P(t) безотказной работы за t_и, соответствующий ей уровень дефектности определяется как

Q = 1 – P(t). (16.12)

При контроле по браковочному (гарантированному) уровню дефектности Q^// (с соответствующей браковочной вероятностью P₂ = 1 - Q^//) заказчику с вероятностью β гарантируется надежность изделий не ниже P₂ . Приемочный уровень дефектности Q^/ = 1 – P₁ оставляет вероятность α браковки партии по результатам испытаний выборки.

При планировании контрольных испытаний учитывают либо только интересы заказчика (планирование по браковочному уровню дефектности) либо интересы и заказчика и поставщика (планирование по браковочному и приемочному уровням дефектности).

Рассмотрим более подробно планирование контрольных испытаний.

16.3.2. Метод однократной выборки.

Сначала рассмотрим планирование по браковочному (гарантированному) значению вероятности безотказной работы.

Этот метод применим как при известном, так и при неизвестном законе распределения контролируемого показателя надежности.

При рассматриваемом методе испытаний партия принимается как соответствующая заданному уровню надежности, если в выборке объемом n из этой партии дефектных изделий окажется d ≤ C, где С – приемочное число.

Для выборки n < 0,1 N и высокой вероятности безотказной работы изделий Р(t_исп) ≥ 0,9 случайное число отказавших изделий рассчитывается на основании закона Пуассона (закона редких явлений):

, (16.13)

где а = (D / N) · n.

По формуле (16.13) рассчитывают объемы n выборок в зависимости от приемочного числа С, заданных доверительной вероятности Р^* полученных результатов испытаний и минимальной вероятности Р₂ безотказной работы сдаваемой партии.

Рис. 16.4. Оперативные характеристики для нескольких значений С при постоянном n

На рис.16.4 приведены оперативные характеристики p_оп (Q) = p(d ≤ C).

Как видно из графиков, чем больше приемочное число С, тем круче характеристика p_оп (Q), то есть меньше различие между браковочным и приемочным уровнями показателя надежности, и, наоборот, чем меньше С, тем рассматриваемая кривая положе.

Чрезвычайно важно следующее: чем выше надежность, то есть чем меньше Q, тем больший объем выборки требуется для подтверждения этого уровня надежности. Так, согласно таблице 16.2, при С = 2 и риске заказчика β =0,1 для подтверждения уровня надежности, соответствующего вероятности безотказной работы Р₂ = 0,9, требуется выборка объемом n = 52. Если же необходимо подтвердить вероятность безотказной работы Р₂ = 0,999, то необходимо – при тех же прочих условиях (β = 0,1; С = 2) – поставить на испытания выборку объемом n = 5320 изделий.

Таблица 16.2. Объем выборки в зависимости от браковочной вероятности безотказной работы, приемочного числа С и риска β заказчика при

Р^* =0.9 и N≤0.1 (закон распределения Пуассона)

с
	0,999		0,99	0,98	0,96	0,95	0,94	0,92	0,91	0,90	0,85	0,80	0,75	0,70
0	2301		229	114	56	45	37	28	24	22	14	10	8	7
1	3888		388	93	96	76	63	47	42	37	24	18	14	11
2	5320		532	264	132	105	87	65	57	52	34	25	20	16
3	6679		668	333	165	132	103	82	72	65	43	32	25	20
4	7991		798	398	198	158	131	98	87	78	52	38	30	25
5	9981		97	462	231	082	153	114	101	91	60	44	35	29
6	10530		1050	527	261	203	174	129	115	103	68	50	40	33
7	1168		1175	588	293	234	194	143	129	116	76	56	45	37
8	12992		1296	648	323	258	215	160	142	128	84	62	49	41
9	14203		1418	709	353	281	236	175	156	139	92	68	54	45
10	15403		1537	770	383	306	255	190	168	152	100	74	59	48
11	16595		11657	829	413	330	275	206	182	163	108	80	64	53
12	17778		1775	888	412	353	294	219	195	175	116	88	68	56
13	18955		1893	945	472	377	313	235	209	187	124	92	73	60
14	20125		2009	1003	500	400	333	250	220	198	131	98	77	64
15	2189		2136	1062	533	421	353	264	235	211	139	104	82	68
16	22448		2241	1119	560	446	372	278	247	221	147	109	86	72
17	23602		2357	1177	580	470	391	293	259	234	155	115	91	75
18	24753		2472	1234	619	492	410	307	273	245	162	121	90	79

Браковочная вероятность Р₂ соответствует некоторому гарантированному времени безотказной работы испытываемых изделий. Если закон распределения вероятности безотказной работы – экспоненциальный, то

P₂ (t_г) = e xp(- λ · t _г). (16.14)

Время t_г может быть очень велико. Для того, чтобы время испытаний было реальным (t_и << t_г), необходимо от вероятности Р₂ перейти к вероятности

. (16.15)

Так как при реальных значениях параметров, входящих в формулу (16.15), правомерно приближение , позволяющее записать

. (16.16)

Пример. Составить план контроля надежности Р₂ = 0,95 на t_г = 1000 ч

при β = 0,1; t_и = 200 ч; С = 1.

Времени t_г = 1000 ч согласно табл. соответствует объем выборки n = 76.

По формуле (8.16) определяем . Этому уровню надежности соответствует n = 388.

Объем выборки можно уменьшить, если сузить поля допусков размеров критериальных параметров испытываемых объектов; нахождение этих параметров в заданных границах соответствует работоспособному состоянию изделия. Ужесточение допусков указанных размеров означает и ужесточение условий испытаний, вследствие чего увеличится доля изделий, у которых размеры характеризующих работоспособность параметров выйдут за допустимые пределы. Тем самым снизится показатель надежности (например, от 0,99 до 0,90) и – при прежних прочих условиях – уменьшится объем выборки. Ужесточающими (ускоряющими) факторами могут быть температура, электрическая нагрузка, вибрация и др.

Здесь необходимо не только правильно выбрать критериальный параметр, значение которого связано с показателем надежности, но, главное, установить эту связь (зависимость от значений данного параметра значений показателя надежности). Последнее утверждение, по сути, выражает проблему ускоренных испытаний.

Для того, чтобы извлечь полезную и адекватную информацию из результатов ускоренных испытаний, надо получить зависимость показателя надежности от изменения ускоряющего фактора. Предположим, что на основе собранных экспериментальных данных построен график, позволяющий «отобразить» множество значений интенсивностей λ_уj отказов в форсированных режимах на множество значений λ_нj (рис. 16.4).

Приведенный график позволяет ввести коэффициент ускорения

, (16.17)

гдеt_н,у – время испытаний в нормальном и форсированном режимах соответственно.

Рис. 16.4

Значение коэффициента ускорения может быть найдено по результатам статистической обработки экспериментальных данных.

Рассмотренный выше план контроля отражал только интересы заказчика (ведь учитывался только риск β приемки партии с недостаточно высоким уровнем надежности).

Для отражения интересов как заказчика, так и изготовителя задаются не только риском β (с соответствующим браковочным значением Р₂ вероятности безотказной работы), но и риском α изготовителя и соответствующим ему приемочным значением Р₁ ВБР.

Вероятности β и α связаны с объемом выборки n, допустимыми уровнями дефектности и приемочным числом С формулами, полученными при использовании биноминального закона распределения:

; (16.18)

; (16.19)

где d – число отказавших изделий в выборке объемом n (d меняется от нуля до С).

Решая уравнения (16.18) и (16.19) относительно n и затем приравнивая первые части полученных выражений, находят зависимость приемочного числа С от заданных значений P₁, P₂, a и b. На основании этой зависимости можно построить таблицу, используемую при формировании плана контроля.

В этой таблице даются значения коэффициента А, вычисляемого по формуле

. (16.20)

Последовательность формирования плана контроля рассмотрим на примере.

Дано: P₁ = 0,98 (при a = 0,1) и P₂ = 0,9 (при b = 0,1) на 500 часов испытания выборки из принимаемой партии изделий. Требуется рассчитать план контроля надежности.

Порядок расчета:

1. Рассчитаем коэффициент

А = ((1 – P₂)(1+P₁))/((1 – P₁)(1+P₂)) = 4,69

2. По найденному значению А и заданным значениям a и b с помощью таблиц определяем приемочное число С. Из соответствующих таблиц (см. приложение) видно, что А лежит между числами 4,82 и 3,82. Если выбрать С = 2 (А = 4,82), то при заданных значениях a, b и P2 это приемочное число соответствует значению Р1, большему заданного. Если же выбрать С = 3 (А = 3,82), то приемочное число соответствует значению Р₁, меньшему заданного.

Учитывая, что значение А = 4,69 расположено ближе к табличному значению А = 4,82, чем к А = 3,82, выбираем С = 2. Для изготовителя это означает некоторое ужесточение плана контроля, так как должно быть обеспечено более высокое приемочное значение Р1 чем заданное.

3. По найденному значению С = 2 и заданным значениям Р2 = 0,9 и b = 0,1 с помощью соответствующей таблицы определяем объем выборки n = 52 изделия.

4. Составляем план контроля для известного закона распределения контролируемого показателя надежности, нет необходимости проводить испытание выборки в течение всего гарантированного времени. Предельную продолжительность испытания выбирают в зависимости от производственных и технико-экономических факторов (времени, которое может быть отведено на испытание, наличия необходимого качества образцов изделий и технических средств для проведения испытания).

При экспоненциальном законе распределения вероятности безотказной работы, который часто встречается на практике, браковочные значения вероятности, заданной на время tг, определяются по формуле (16.14):

P₂(t_г) = e^-λtг . (16.21)

Для времени испытания t_и вероятность безотказной работы

P₂'(t_и) = e ^–λtи . (16.22)

Прологарифмировав обе части каждого из уравнений (16.21), (16.22) и разделив второе на первое, получим

ln P₂'(t_и)/ ln P₂(t_г) = t_и/t_г (16.23)

или

ln P₂'(t_и) = t_и/t_г ln P₂(t_г) . (16.24)

Задаваясь различными значениями времени t_и испытания при заданных значениях Р₂ и t_г, по формуле (16.24) можно рассчитать соответствующие значения Р₂' за это время. Зная Р₂' и задаваясь значениями b и С, нетрудно вычислить или определить из соответствующих таблиц необходимый объем выборки. Затем можно записать план контроля; n, t_и, С.

При (d ≤ C) партия изделий из которой взята выборка принимается; при (d > С) партия бракуется.

При планировании испытаний с учетом интересов не только заказчика, но и изготовителя для экспоненциального закона распределения вероятности безотказной работы план контроля по форме ничем не отличается от плана, рассмотренного ранее. Неизвестное значение Р₁ не представляет труда рассчитать по формуле (16.24), заменив Р₂ на Р₁ и Р₂' на Р₁' или определив их из соответствующих таблиц.

1. Федоров В.К. Контроль и испытания в проектировании и производстве РЭС. - М.: Техносфера, 2005.

2. Острейковский В.А. Теория надежности. - М.: Высш. шк., 2008. - 463 с.

3. Чернышев А.А. Основы конструирования и надежности ЭВС. – М.: Радио и связь, 1998. - 448 с.