16.2. Определительные испытания на надежность.

Данные испытания, цель которых – определение показателей надежности – могут проводиться по различным планам [2].

План испытаний (И) включает:

- число (N) устанавливаемых на И объектов;

- указание на число заменяемых или восстанавливаемых объектов в процессе И (U – объекты не восстанавливаются и не заменяются; R – заменяемых в случае отказа объектов; M – число восстанавливаемых объектов);

- число отказов r, до накоплении которых И продолжают;

- заданное время T проведения И;

Так план [NUT] предписывает проведение И в течение времени Т N объектов без их замены / восстановления. План [NUr] отличается от предыдущего тем, что И проводят до накопления r отказов.

Наиболее полную информацию дает план [NUN], в соответствии с которым N объектов (изделий) испытывают без их замены / восстановления до отказа каждого из них. Здесь раскрывается вся эмпирическая картина распределения отказов во времени. Задача нахождения показателей надежности наиболее точно и полно решается при знании закона распределения времени работы изделий до отказа.

Предположим, что имеется множество результатов наблюдений над непрерывной случайной величиной (СВ), каковой при испытаниях на надежность является время отказа одного из множества изделий в испытываемой партии. Закон распределения этой СВ в первом приближении может быть установлен по статистическому ряду, построенному на основе собранного экспериментального материала.

Выбор и проверка гипотезы о законе распределения.

Построенная на основании статистического ряда гистограмма дает возможность выдвинуть гипотезу о законе распределения и затем оценить степень согласованности теоретического и статистического распределений.

1. Построение гистограммы

1.1. По исправленным результатам испытаний, т.е. по реальным результатам (с вычетом систематической погрешности) строится вариационный ряд – упорядоченная выборка. Результаты в таком ряду располагают в порядке возрастания их числовых значений.

Применительно к задаче обработки статистики времени безотказной работы объектов вариационный ряд выстраивается естественным образом – в порядке появления отказов.

1.2. Этот ряд разбивается на некоторое число N интервалов группирования экспериментальных результатов, причем интервалов одинаковой ширины. h. Число N должно быть оптимально в смысле достаточной выразительности и защищенности от незакономерных колебаний [5].

При числе результатов измерений (числе отказов) n ≈ 150 .

1.3. Подсчитывают количество значений m_k результатов, приходящихся на каждый k-ый интервал (разряд) т. е. определяют абсолютные частости . Далее удобно перейти к относительным частостям

,

где - число опытов; - абсолютная частость.

1.4. Строится гистограмма. По оси результатов откладываются интервалы значений наблюдаемой СВ, по оси ординат – частости.

На каждом основании шириной h строится прямоугольник высотой

Рис. 16.1. Гистограмма и полигон распределения

Ординаты, пропорциональные частостям, восстановленные в серединах столбцов перпендикулярно оси абсцисс, позволяют построить полигон (рис. 15.1). Сопоставление полученного на основе набранной статистики полигона с различными кривыми плотностей распределения позволяет выдвинуть гипотезу о законе распределения. Далее необходимо оценить, насколько с этой гипотезой согласуются экспериментальные данные.

1.5. При числе наблюдений больше 50 для проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы о законе распределения используется критерий Пирсона (наиболее применяемый критерий согласия).

Для этого надо располагать статистическим рядом:

Для гипотетического распределения находят теоретические вероятности:

В качестве меры расхождения между теоретической вероятностью и найденной из опытов статистической вероятностью выбирается мера ²

(16.1)

Здесь - коэффициент предложенный Пирсоном, N – число интервалов (разрядов).

Введенная мера χ² – СВ, имеющая распределение Пирсона с числом степеней свободы r = N – 1 – ν, где ν – число параметров, однозначно определяющих данный закон распределения.

Составлены таблицы значений χ² для различных уровней значимости q = 1 – P_дов, где P_дов – доверительная вероятность, с которой гипотеза о законе распределения принимается. Если вычисленная по экспериментальным данным мера χ² < (χ²)_q то с вероятностью q гипотеза о законе распределения принимается.

В настоящее время для проверки гипотезы принята двусторонняя критическая область, то есть гипотеза принимается, если

χ²_r,(1-q/2) < χ² < χ²_{r; q/2} (16.2)

В задании №4 (приложение) предлагается по результатам виртуальных определительных испытаний выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения.

При знании закона распределения показатели надежности могут быть вычислены на основе достаточно ограниченного набора экспериментальных данных. Это иллюстрируется следующим примером.

Пример. За время испытаний 100 изделий в течение t_и = 200 ч зафиксированы отказы 2-х изделий. Определить среднее время Т₁ наработки до отказа, если известно, что случайное время отказа изделия подчинено экспоненциальному закону.

Вероятность отказа рассчитывается по формуле

.

Согласно результатам И статистическое значение Q равно 0,02.

Таким образом,

;

где t = t_и = 200 ч.

Получаем ≈ 10⁴ ч.

Если в результате проведенных И получен ряд значений t_i (случайных значений времени отказа), точечные оценки мат. ожидания и дисперсии среднего времени наработки до отказа Т₁ находятся по формулам:

; (16.3)

; (16.4)

. (16.5)

Любая точечная оценка, полученная на основании испытаний, обладает тем существенным недостатком, что она сама является случайной величиной. Поэтому для точечных оценок необходимо находить доверительные интервалы, в которые они попадают с доверительной вероятностью β.

Показательным в этом плане является нахождение доверительного интервала для средней наработки на отказ [1, 3].

Рассмотрим простейший пуассоновский поток отказов РЭС (ЭВС). Вероятность появления k отказов за время t_Σ в соответствии с законом Пуассона будет

, (16.6)

где λ = 1/T_o .

Вероятность работы с числом отказов ≤ r рассчитывается, согласно (16.6) как

. (16.7)

Выражение (16.7) соответствует интегральной функции χ²-распределения случайной величины t_Σ до появления r отказов. Собственно χ²-распределению с ν = 2r степенями свободы подчинена случайная величина . При вводе этой новой переменной χ² = формула (16.7) переписывается в виде

. (16.8)

Дифференцирование этой функции по dχ² дает функцию плотности распределения (рис. 16.2). В качестве доверительного интервала при заданной доверительной вероятности β принимается двусторонняя критическая область

χ²_ν,(1-q/2) < χ² < χ²_{ν; q/2} , (16.9)

Тогда величина Т_О находится в доверительном интервале

. (16.10)

Значения меры χ² в завсисмости от уровня значимости q и числа степеней свободы ν даны в табл. 16.1.

Таблица 16.1

q ν	в зависим. от уровня значимостиqи числа степеней свободыν
	0,99	0,98	0,95	0,9	0,8	0,7	0,5	0,3	0,2	0,1	0,05	0,02
2	0,02	0,04	0,1	0,21	0,45	0,713	1,39	2,41	3,22	4,61	5,99	7,82
4	0,3	0,43	0,71	1,06	1,65	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	11,6
6	0,87	1,134	1,63	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,65	12,59	15,03
8	1,65	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	18,17
10	2,56	3,06	3,94	4,87	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	21,16
12	3,57	4,18	5,23	6,30	7,81	9,03	11,34	14,01	15,81	18,55	21,03	24,05
14	4,66	5,37	6,57	7,79	9,47	10,82	13,34	16,22	18,15	21,06	23,69	26,87
16	5,81	6,61	7,96	9,31	11,15	12,62	15,34	18,42	20,46	23,54	26,3	29,63
18	7,02	7,91	9,39	10,86	12,86	14,44	17,34	20,6	22,8	26,0	28,9	32,3
20	8,26	9,24	10,85	12,44	14,58	16,27	19,34	22,8	25,04	28,41	31,41	35,02
22	9,54	10,06	12,34	14,04	16,31	18,10	21,30	24,9	27,30	31,8	33,9	37,7
24	10,86	11,99	13,85	15,66	18,06	19,94	23,3	27,1	29,6	33,2	36,4	40,3
26	12,20	13,41	15,38	17,29	19,82	21,8	25,3	29,2	31,8	35,6	38,9	42,9
28	13,56	14,85	16,93	18,94	21,6	23,6	27,3	31,4	34,0	37,9	41,3	45,4
30	14,95	16,31	18,46	20,60	23,36	25,5	29,3	33,5	36,25	40,26	43,77	47,96

Пример. Пусть за суммарное времяt_Σ= 5000 ч испытаний однотипных РЭС произошлоr = 14 отказов. Оценить с доверительной вероятностьюβ= 0,9 граничные значения средней наработки на отказ.

Среднее время наработки на один отказ равно

. (16.11)

Величина T_O случайная. Поэтому необходимо определить доверительный интервал, в котором величинеТ_О находится с доверительной вероятностью β.

Согласно исходным данным 2t_Σ= 10000 ч,ν = 2r= 28,q/2 = (1-β)/2 = 0,05.

По табл. № 7.1 находим = 16,93; = 41,3.

Таким образом, согласно (6.10), величина Т_О находится в пределах

242 ч < Т_О< 590 ч.