Седьмая лекция

6. Вероятностный расчет посадок и размерных цепей

План

Преамбула: смысл вероятностного расчета.

Базовые понятия теории вероятностей.

Нормальный закон распределения.

Идеология и методика вероятностного расчета размерных цепей.

Методика вероятностного расчета сопряжений.

Величина замыкающего звена размерной цепи (РЦ), относящейся к любому комплексу элементов конструкции, – случайная величина, то есть та, которая в результате реализации элементов данной конструкции примет заранее неизвестное значение. Случайными являются и величины составляющих звеньев. Речь идет, разумеется, о реализациях размеров, соответствующих заданным требованиям, заданным полям допусков.

6.1. Базовые понятия теории вероятностей

В связи с тем, что рассмотренные ранее размеры РЦ, а также (как частный случай) размеры элементов сопряжений, получающиеся в них зазоры (натяги) – случайные величины, стоит вспомнить некоторые сведения из теории вероятностей.

Случайная величина (СВ) бывает как дискретной, так и непрерывной.

Каждое из n возможных значений X = x_i дискретной СВ появляется в опыте с вероятностью p_i ; при этом , так как появление какого-либоодного значения СВ в опыте неизбежно (если только СВ не может принять одновременно два или более разных значений).

Суммарная вероятность как-то распределена между отдельными значениями. Примером распределения дискретной СВ является ряд вероятностей (рис. 6.1), с какими спортивная команда может занять то или иное место N в чемпионате.

Рис. 6.1. Пример дискретного рапределения

Дискретное распределение может быть задано также таблицей с возможными значениями x_i СВ и соответствующими p_i вероятностями появления в опыте этих значений. Так в опыте с игральной костью, где вероятность выпадания каждого из чисел равна 1/6, таблица распределения имеет вид

Таблица 6.1

xi	1	2	3	4	5	6
pi	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Без закона распределения, то есть без каких-либо соотношений между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями, исчисление вероятностей было бы невозможно: ведь как сказал Анри Пуанкаре в книге «Наука и гипотеза», «как можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?». Закон распределения СВ дает эти знания…

Рассматриваемые в данной теме «Вероятностный расчет посадок и размерных цепей» случайные величины – непрерывные. Примеры непрерывных СВ: расстояние точки попадания пули до центра мишени, время безотказной работы устройства, действительная величина зазора (натяга) в соединении…

А какой СВ – дискретной или непрерывной – является погрешность измерения? Теоретически –непрерывной, а на практике дискретной, так как все результаты измерений – дискретные величины, возможные значения которых отделены друг от друга и число этих значений конечно.

Для количественной характеристики распределения непрерывной СВ удобно пользоваться не вероятностью P (X = x_i) «выпадания» какого-то числа (вероятностью конечного числа событий), а вероятностью события попадания СВ X на участок (-∞ , x), то есть

P (X < x) = F (x). (6.1)

Это – интегральный закон распределения.

Функцию F(x) можно интерпретировать как вероятность падения летящего в положительном направлении оси x объекта (снаряда, камня и т. д.) на участок левее точки с текущей координатой x (рис. 6.2). Здесь X – координата места падения объекта.

Рис. 6.2. Интерпретация функции распределения F (x) как вероятности падения объекта на участок а

При известной функции F(x) можно вычислить вероятность попадания СВ на малый участок dx:

P(x < X < x +dx) = F(x+dx) - F(x). (6.2)

Эта запись сделана на основе теоремы сложения вероятностей: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. То есть

P(X < x + dx) = P(X < x) + P(x < X < x + dx) . (6.3)

Вероятность попадания на интервал (x, x + dx) зависит от ширины dx этого интервала. Для характеристики плотности распределения берут отношение

. (6.4)

Дифференциальную функцию распределения f(x) называют плотностью распределения («плотностью вероятностей»). Когда говорят о законе распределения СВ, прежде всего подразумевают тот или иной вид этой функции.