2.5. Гамма-распределение

В самом общем виде этот закон характеризуется плотностью вероятности вида

; (2.23)

здесь Г(α) – гамма-функция; Г(α) = .

Для целых положительных значений α= k; k = 0; 1, 2, …n

Г(α) = (α – 1) !

Тогда из выражения (2.23) получается плотность распределения времени до отказа, который происходит в оборудовании при накоплении отказов k элементов, каждый из которых отказывает по экспоненциальному закону:

, (2.24)

где λ₀ – интенсивность отказов отдельных элементов;

k– число отказов, приводящих к отказу оборудования.

При k = 1 формула (2.24) дает экспоненциальное распределение:

. (2.25)

2.6. Закон распределения Вейбулла

при t ≥ 0 ; (2.26)

f(t) =

0. при t < 0 ,

где α называют параметром формы , а λ - параметром масштаба.

Наличие этих двух параметров делает закон Вейбулла очень удобным для подбора подходящего выражения функции f(t), наиболее приближающего модель к опытному распределению.

Рассматриваемое распределение Вейбулла хорошо описывает функцию надежности изделий со скрытыми дефектами. При α > 1 этот закон подходит для описания функции надежности быстро стареющих изделий.

Известно также, что многие интегральные микросхемы имеют распределение наработки до отказа по Вейбуллу с показателем α < 1.

Из приводимых ниже графиков функций f(t) вейбулловского распределения ясно видно, что при различных значениях параметра α этот закон приближается то к нормальному, то к экспоненциальному.

2.7. Обобщение различных непрерывных распределений

Выдающийся английский математик и философ Карл Пирсон предложил общую форму

, (2.29)

из которой, в зависимости от значений параметров a_i, b_i , получаются то Гамма-распределение, то распределение Стьюдента, то Гаусса и др.

Связь различных законов иллюстрируется, например, тем, что при подстановке в формулу Г-распределения α = n /2, λ = 0,5 получается χ² - распределение с n степенями свободы.

При α = 2 из распределения Вейбулла получается распределение Рэлея:

. (2.27)

Интересно, что закон Рэлея можно получит и из распределения случайной величины

, (2.28)

то есть χ-распределения при n =2.

Задача: при известных законах распределения первичных параметров x₁, x₁, x₁,… , влияющих на качество работы системы, найти закон распределения выходного параметра y, выражающего это качество.

.

f(y), F(y) - плотнгость и функция распределения выходного параметра y.

f (y) - ?