2. Законы распределения и проявления этих законов в теории надежности

Отказы – случайные события; время работы до отказа, число отказов на множестве изделий, время восстановления – случайные величины.

Для исчисления вероятностей должна быть информация. Ведь как можно исчислять то, о чем нет никаких сведений? Такую информацию дают законы распределения случайных величин: дискретные и непрерывные. Начнем с дискретных распределений.

2.1. Биномиальное распределение

Производится n независимых опытов, в каждом из которых некое событи А может появиться с вероятностью p и не появиться, следовательно, с вероятностью q = 1 – p.

Требуется найти вероятность P_m,n того, что событие А в этих опытах появится ровно m раз.

Для определения вероятности P_m,n подсчитаем число вариантов с появлением события А m раз в n опытах. Таких вариантов всего столько, сколько групп из n элементов по m, где порядок элементов не важен; то есть необходимо подсчитать число сочетаний из n элементов по m:

. (2.1)

Согласно теореме умножения вероятностей вероятность появления каждого из этих вариантов равна:

. (2.2)

С учетом того, что вероятность суммы несовместных событий равнв сумме вероятностей этих событий, получаем искомую вероятность P_m,n к

, (2.3)

где С-число сочетаний изn элементов по m .

Применительно к области надежности технических средств формула (2.3) дает вероятность того, что из n элементов (образцов) откажут (n – m), а m останутся в работе, причем q - вероятность отказа элемента в каждом конкретном опыте.

2.2. Закон Пуассона

Этот закон выражает биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности появления события в каждом из них. Вот почему его называют законом редких явлений.

Положим, что в биномиальном распределении (2.3) число опытов стремится к бесконечности (n → ∞), а вероятность появления рассматриваемого события А – к нулю (р → 0); при этом произведение n·p имеет некое = a / n постоянное конечное значение (n·p = а), где - а параметр распределения.

При p = a / n

. (2.4)

Анализ выражения при n → ∞ удобно провести, представив его в виде

. (2.5)

Отсюда, с учетом правомерной аппроксимации получается окончательно . (2,6)

Если приложить анализируемое распределение к потоку случайных событий, вероятность есть вероятность попадания события на m временных отрезков из общего их числа n при n → ∞.

Значения функции даны в таблице 2.1.

Пример. В оборудовании 1 раз за 50 суток работы обнаруживается неисправность, приводящая к отказу. Найти вероятность появления от 2-х до 4-х отказов за 5 суток (то есть за рабочую неделю).

Из условий задачи вытекает, что p = 0,02 отказа / сутки. Т. к. n = 5, параметр распределения Пуассона равен а = n·p = 5· 0,02 = 0,1.

Для подсчета вероятности P = P₂ + P₃ + P₄ обратимся к таблицам (см. приложение ), откуда P = 0,0045 + 0,0002 + б.м. = 0,0047.

Другой пример. В системе связи с протоколом произвольного доступа поток событий передачи пакетов информации (вместе с повторной передачей) представляет пуассоновский процесс. Определить вероятность возникновения конфликта с еще одним пользователем, если среднее значение полной частоты передачи пакетов составляет при средней длительности пакета Δt_п = 10 мс.

Среднее число сообщений, приходящееся на временной отрезок τ , определяется как (λ · τ). Параметр распределения Пуассона в данном случае находится как .

Сам закон Пуассона может быть записан здесь следующим образом:

(2.7)

причем в нашем случае m = 1.

Искомая вероятность составит: Р = 0,1·е ^{– 0,1} = 0,09.

Табл. 2.1. Значения функции Пуассона:

m	a	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6.	0.7	0.8	0.9
0		0.9048	0.8187	0.7408	0.6703	0.6065	0.5488	0.4966	0.4493	0.4066
1		0.0905	0.1638	0.2222	0.2681	0.3033	0.3293	0.3476	0.3596	0.3639
2		0.0045	0.0164	0.0333	0.0536	0.0758	0.0983	0.1217	0.1438	0.1648
3		0.0002	0.0011	0.0033	0.0072	0.0126	0.0198	0.0284	0.0383	0.0494
4		-	0.0001	0.0003	0.0007	0.0016	0.0030	0.0050	0.0077	0.0111
5		-	-	-	0.0001	0.0002	0.0004	0.0007	0.0012	0.0020
6		-	-	-	-	-	-	0.0001	0.0002	0.0003

m	a	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0.	7.0	8.0	9.0
0		0.3679	0.1383	0.0498	0.0183	0.0067	0.0025	0.0009	0.0003	0.0001
1		0.3679	0.2707	0.1494	0.0733	0.0337	0.0149	0.0064	0.0027	0.0011
2		0.1839	0.2707	0.2240	0.1465	0.0842	0.0446	0.0223	0.0107	0.0050
3		0.0613	0.1805	0.224	0.1984	0.1404	0.0892	0.0521	0.0286	0.0150
4		0.0153	0.0902	0.1680	0.1954	0.1755	0.1339	0.0912	0.0572	0.0337
5		0.0031	0.0361	0.1008	0.1563	0.1755	0.1606	0.1277	0.0916	0.0607
6		0.0005	0.0120	0.0504	0.1042	0.1462	0.1606	0.1490	0.1221	0.0911
7		0.0001	0.0034	0.0216	0.0595	0.1045	0.1377	0.1490	0.1396	0.1171
8		-	0.0009	0.0081	0.0298	0.0655	0.1033	0.1304	0.1396	0.1318
9		-	0.0002	0.0027	0.0132	0.0363	0.0689	0.1014	0.1241	0.1318
10		-	-	0.0008	0.0053	0.0181	0.0413	0.0710	0.0993	0.1186
11		-	-	0.0002	0.0019	0.0082	0.0255	0.0452	0.0722	0.0970.
12		-	-	0.0001	0.0006	0.0034	0.0113	0.0264	0.0481	0.0728
13		-	-	-	0.0002	0.0013	0.0052	0.0142	0.0296	0.0504
14		-	-	-	0.0001	0.0005	0.0022	0.0071	0.0169	0.0324
15		-	-	-	-	0.0002	0.0009	0.0033	0.0090	0.0194
16		-	-	-	-	-	0.0003	0.0015	0.0045	0.0109
17		-	-	-	-	-	0.0001	0.0006	0.0021	0.0058
18		-	-	-	-	-	-	0.0002	0.0009	0.0029
19		-	-	-	-	-	-	0.0001	0.0004	0.0014
20		-	-	-	-	-	-	-	0.0002	0.0006
21		-	-	-	-	-	-	-	0.0001	0.0003
22		-	-	-	-	-	-	-	-	0.0001

Если число отказов, попадающих на интервал времени τ, распределено по закону Пуассона (2.7), параметр λ представляет среднее число отказов в единицу времени.

Теперь – о непрерывных распределениях.