Объем выборки в зависимости от браковочной вероятности безотказной работы,

приемочного числа С и риска β заказчика при Р^* =0.9 и n/N≤0.1 (закон распределения Пуассона)

с
	0,999	0,99	0,98	0,96	0,95	0,94	0,93	0,92	0,91	0,90	0,85	0,80	0,75	0,70
0	2301	229	114	56	45	37	32	28	24	22	14	10	8	7
1	3888	388	93	96	76	63	54	47	42	37	24	18	14	11
2	5320	532	264	132	105	87	74	65	57	52	34	25	20	16
3	6679	668	333	165	132	103	94	82	72	65	43	32	25	20
4	7991	798	398	198	158	131	112	98	87	78	52	38	30	25
5	9981	97	462	231	082	153	130	114	101	91	60	44	35	29
6	10530	1050	527	261	203	174	148	129	115	103	68	50	40	33
7	1168	1175	588	293	234	194	166	143	129	116	76	56	45	37
8	12992	1296	648	323	258	215	183	160	142	128	84	62	49	41
9	14203	1418	709	353	281	236	200	175	156	139	92	68	54	45
10	15403	1537	770	383	306	255	218	190	168	152	100	74	59	48
11	16595	11657	829	413	330	275	236	206	182	163	108	80	64	53
12	17778	1775	888	412	353	294	252	219	195	175	116	88	68	56
13	18955	1893	945	472	377	313	268	235	209	187	124	92	73	60
14	20125	2009	1003	500	400	333	285	250	220	198	131	98	77	64
15	2189	2136	1062	533	421	353	301	264	235	211	139	104	82	68
16	22448	2241	1119	560	446	372	318	278	247	221	147	109	86	72
17	23602	2357	1177	580	470	391	335	293	259	234	155	115	91	75
18	24753	2472	1234	619	492	410	350	307	273	245	162	121	90	79

Браковочная вероятность Р₂ соответствует некоторому гарантированному времени безотказной работы испытываемых изделий. Если закон распределения вероятности безотказной работы – экспоненциальный, то

P₂ (t_г) = e xp(- λ · t _г). (6.14)

Время t_г может быть очень велико. Для того, чтобы время испытаний было реальным (t_и << t_г), необходимо от вероятности Р₂ перейти к вероятности

. (6.15)

Так как при реальных значениях параметров, входящих в формулу (6.15), правомерно приближение , позволяющая записать

. (6.16)

Пример. Составить план контроля надежности Р₂ = 0,95 на t_г = 1000 ч

при β = 0,1; t_и = 200 ч; С = 1.

Времени t_г = 1000 ч согласно табл. соответствует объем выборки n = 76.

По формуле (6.16) определяем . Этому уровню надежности соответствует n = 388.

Объем выборки можно уменьшить, если сузить поля допусков размеров критериальных параметров испытываемых объектов; нахождение этих параметров в заданных границах соответствует работоспособному состоянию изделия. Ужесточение допусков указанных размеров означает и ужесточение условий испытаний, вследствие чего увеличится доля изделий, у которых размеры характеризующих работоспособность параметров выйдут за допустимые пределы. Тем самым снизится показатель надежности (например, от 0,99 до 0,90) и – при прежних прочих условиях – уменьшится объем выборки. Ужесточающими (ускоряющими) факторами могут быть температура, электрическая нагрузка, вибрация и др.

Здесь необходимо не только правильно выбрать критериальный параметр, значение которого связано с показателем надежности, но, главное, установить эту связь (зависимость от значений данного параметра значений показателя надежности). Последнее утверждение, по сути, выражает проблему ускоренных испытаний.

Для того, чтобы извлечь полезную и адекватную информацию из результатов ускоренных испытаний, надо получить зависимость показателя надежности от изменения ускоряющего фактора. Предположим, что на основе собранных экспериментальных данных построен график, позволяющий «отобразить» множество значений интенсивностей λ_уj отказов в форсированных режимах на множество значений λ_нj (рис. 6.4).

Приведенный график позволяет ввести коэффициент ускорения

, (6.17)

где t_н,у – время испытаний в нормальном и форсированном режимах соответственно.

Рис. 6.4

Значение коэффициента ускорения может быть найдено по результатам статистической обработки экспериментальных данных.

Рассмотренный выше план контороля отражал только интересы заказчика (ведь учитывался только риск β приемки партии с недостаточно высоким уровнем надежности).

Для отражения интересоа как заказчика, так и изготовителя задаются не только риском β (с соответствующим браковочным значением Р₂ выроятности безотказной работы), но и риском α изготовителя и соответствующим ему приемочным значением Р₁ ВБР.

Вероятности β и α связаны с объемом выборки n, допустимыми уровнями дефектности и приемочным числом С формулами, полученными при использовании биноминального закона распределения:

; (6.18)

; (6.19)

где d – число отказавших изделий в выборке объемом n (d меняется от нуля до С).

Решая уравнения (6.18) и (6.19) относительно n и затем приравнивая первые части полученных выражений, находят зависимость приемочного числа С от заданных значений P₁, P₂,и. На основании этой зависимости можно построить таблицу, используемую при формировании плана контроля.

В этой таблице #даются значения коэффициента А, вычисляемого по формуле

. (6.20)

Последовательность формирования плана контроля рассмотрим на примере.

Дано : P₁= 0,98 (при= 0,1) и P₂= 0,9 (при= 0,1) на 500 часов испытания выборки из принимаемой партии изделий. Требуется рассчитать план контроля надежности.

Порядок расчета:

1. Рассчитаем коэффициент

А = ((1 – P₂)(1+P₁))/((1 – P₁)(1+P₂)) = 4,69

2. По найденному значению А и заданным значениям ис помощью таблиц определяем приемочное число С. Из соответствующих таблиц видно, что А лежит между числами 4,82 и 3,82. Если выбрать С = 2 (А = 4,82), то при заданных значениях,и P2 это приемочное число соответствует значению Р1, большему заданного. Если же выбрать С = 3 (А = 3,82), то приемочное число соответствует значению Р₁, меньшему заданного.

Учитывая, что значение А = 4,69 расположено ближе к табличному значению А = 4,82, чем к А = 3,82, выбираем С = 2. Для изготовителя это означает некоторое ужесточение плана контроля, так как должно быть обеспечено более высокое приемочное значение Р1 чем заданное.

3. По найденному значению С = 2 и заданным значениям Р2 = 0,9 и = 0,1 с помощью соответствующей таблицы определяем объем выборки n = 52 изделия.

4. Составляем план контроля для известного закона распределения контролируемого показателя надежности нет необходимости проводить испытание выборки в течение всего гарантированного времени. Предельную продолжительность испытания выбирают в зависимости от производственных и технико-экономических факторов (времени, которое может быть отведено на испытание, наличия необходимого качества образцов изделий и технических средств для проведения испытания).

Таблица #

При экспоненциальном законе распределения вероятности безотказной работы, который часто встречается на практике, браковочные значения вероятности, заданной на время tг, определяются по формуле (6.14)

P₂(t_г) = e^-λtг.

Для времени испытания t_ивероятность безотказной работы

P₂'(t_и) = e^-λtи

Прологарифмировав обе части уравнения (6.15) разделив второе на первое получим

ln P₂'(t_и)/ ln P₂(t_г) = t_и/t_г

или

ln P₂'(t_и) = t_и/t_гln P₂(t_г) (6.21)

Задаваясь различными значениями времени t_ииспытания при заданных значениях Р₂и t_г, по формуле (6.21) можно рассчитать соответствующие значения Р₂' за это время. Зная Р₂' и задаваясь значениямии С, нетрудно вычислить или определить из соответствующих таблиц необходимый объем выборки. Затем можно записать план контроля; n, t_и, С.

При d ≤ C партия изделий из которой взята выборка принимается; при d С партия бракуется.

При планировании испытаний с учетом интересов не только заказчика, но и изготовителя для экспоненциального закона распределения вероятности безотказной работы план контроля по форме ничем не отличается от плана, рассмотренного ранее. Неизвестное значение Р₁не представляет труда рассчитать по формуле (2.4), заменив Р₂на Р₁и Р₂' на Р₁' или определив их из соответствующих таблиц.