
- •Классификация автоматических систем по назначению
- •Понятие об автоматическом регулировании
- •Принцип регулирования по возмущению
- •Принцип регулирования по отклонению (ошибке)
- •Системы стабилизации, системы программного регулирования и следящие системы
- •Статические и астатические системы
- •Одноконтурные и многоконтурные системы
- •Одномерные и многомерные системы
- •Методы анализа и синтеза сар Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования
- •Преобразование Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Ряды и интегралы Фурье Гармонический анализ
- •Понятие о спектрах
- •Интеграл фурье Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье
- •Преобразование фурье Прямое и обратное преобразование Фурье
- •Связь преобразований фурье и лапласа Формула
- •Если , то предел этой последовательности
- •2.Гармонические колебания.
- •Передаточные функции системы
- •Частотные характеристики системы
- •Пусть воздействие
- •И требуется определить изменение X(t) в установившемся процессе, т.Е. Найти частное решение уравнения (1), рассмотренное ранее.
- •Связь между частотными и временными характеристиками линейной системы.
- •Типовые динамические звенья и их характеристики
- •Структурные схемы Правила преобразования структурных схем
- •Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейной одноконтурной сар
- •Устойчивость линейных систем
- •Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
- •Критерий устойчивости Михайлова.
- •Критерий Найквиста
- •Логарифмический критерий устойчивости
- •Критерии качества
- •Точность при типовых воздействиях
- •Постоянное ступенчатое воздействие
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по кривой процесса регулирования.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по частотным показателям качества.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по ачх замкнутой системы.
- •Оценка запаса устойчивости и быстродействия по афх разомкнутой системы.
- •По теореме косинусов:
- •Эта зависимость существует только для модулей
- •Способы улучшения процесса регулирования и методы синтеза линейных систем. Увеличение общего коэффициента усиления.
- •Увеличение порядка астатизма.
- •Компенсация возмущений.
- •Повышение запаса устойчивости и быстродействия линейных систем.
- •Последовательные корректирующие устройства.
Преобразование фурье Прямое и обратное преобразование Фурье
Совокупность операций, позволяющих по заданной функции f(t) находить соответствующую ей спектральную характеристику F(iω) называется преобразованием Фурье:
Символически формулу (1)будем записывать в виде
Интеграл в правой части (1) как и ранее понимается в смысле главного значения, т.е.
Равенство (1) устанавливает связь между функцией f(t), аргументом которой служит t, и ей соответствующей комплексной функцией F(iω), имеющей в качестве аргумента частоту ω .
Формула интеграла Фурье
позволяет от известной функции F(iω) определить соответствующую ей функцию f(t). На этом основании формулу (3) называют обратным преобразованием Фурье. Символически будем записывать
В ряде задач автоматического регулирования функция f(t) характеризует процесс, имеющий место лишь начиная с некоторого момента времени t , который можно принять за нулевой.
В этом случае f(t) ≡0 при t< 0 (1) принимает вид
Преобразование (5) называется прямым односторонним преобразованием Фурье .Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому одностороннему преобразованию, остается двусторонним по переменной ω и дается равенством
При
t=0,
значение правой части (6) равно
;
при t < 0 , f(t) ≡0
Связь преобразований фурье и лапласа Формула
прямого преобразования Лапласа может рассматриваться как результат определенным образом построенного обобщения одностороннего преобразования Фурье.
Пусть, например, f(t) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале 0 ≤ t < ∞ , причем f(t) ≡0 при t<0.
Как
известно, преобразование Фурье может
быть применено к функциям
f(t), для
которых интеграл
существует
(условие абсолютной интегрируемости).
Этому условию не удовлетворяют многие
функции, используемые при анализе
процессов в автоматических системах,
например 1(t),
Asin(ωt),
Acos(ωt), eαt
при α >0,
t
и др.
Для
того чтобы иметь возможность подобную
функцию f(t)
преобразовать по Фурье, предварительно
ее надо умножить на e-ct
где вещественное число С>C0
выбрано
таким образом, чтобы интеграл
был бы сходящимся.
Значение С0 для каждой функции f(t) является вполне определенным. Используя формулу прямого одностороннего преобразования Фурье, будем преобразовывать по Фурье не f(t) , а f(t)e-ct, удовлетворяющую условиям применения этого преобразования.
Введя
новую комплексную переменную S=c+jω,
получим
.
Это выражение представляет собой формулу прямого преобразования Лапласа. Таким образом, преобразование Лапласа является результатом распространения преобразования Фурье на функции, которые, удовлетворяя условиям Дирехле в интервале 0<t< ∞, не удовлетворяют в этом интервале условию абсолютной интегрируемости.
Если F(jω) спектральная х – тика f(t), то функция F(S) комплексной переменой S является спектральной характеристикой затухающей функции времени f(t)e-ct.
Рассмотрим формулу обратного преобразования Фурье:
Заменим в правой и левой частях этого равенства f(t) на f(t)e-ct, получим:
Учитывая, что S=e + jω, dω=dS/j, найдём
Это равенство является формулой обратного преобразования Лапласа, т.е. обратное преобразование Лапласа может рассматриваться как развитие обратного преобразования Фурье.
Ранее отмечалось, что представление функции в виде интеграла Фурье соответствует представлению функции в виде суммы бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами, причем частоты гармоник отличаются друг от друга бесконечно мало. Аналогично этому представлению f(t) в виде (*) соответствует представлению этой функции в виде бесконечно большого числа бесконечно малых составляющих, являющихся колебаниями с бесконечно малыми амплитудами, затухающих по экспоненциальному закону.
Свойства преобразования Фурье аналогичны свойствам преобразования Лапласа.
Спектральные характеристики некоторых функций
1.Единичная ступенчатая функция. Дельта – функция.
Функция 1(t) вида
называется единичной ступенчатой функцией. Из (1) следует, 1(t) при t=0 имеет разрыв неопределенности первого рода, причем значение функции в точке разрыва не определено. Однако 1(t) при t=0 приписывают вполне определённые значения. Наиболее часто встречаются функции следующего вида:
Выбор того или иного значения единичной функции t=0 связан особенностями решаемой задачи. Например, первое представление удобно в том случае, когда рассматривают функцию 1(t) как предел при λ→∞ последовательности непрерывных функций:
f(t,λ)=1/2+(1/π)arctg λt (3) ,
где λ – параметр и
Последовательность непрерывных функций
при λ→ ∞ также имеет своим пределом первое представление 1(t).