Физика (4 семестр) / Лекция 8

Лекция № 8

Тема лекции:

Лазеры

Рассматриваемые вопросы:

1.Правила отбора при излучении и поглощении света…..……...…………………1

2.Спонтанное излучение………....……………………………………………..……4

3.Вынужденное излучение………………….………………………………………10

4.Отрицательное поглощение света………………………………………………..14

5.Лазеры…………….………………………………………………………………..22

1. ПРАВИЛА ОТБОРА ПРИ ИЗЛУЧЕНИИ И ПОГЛОЩЕНИИ СВЕТА

При переходе электрона сложного атома из одного энергетического состояния в другое может возникать излучение или поглощение кванта электромагнитной энергии. Однако не все принципиально возможные переходы электронов между энергетическими уровнями могут осуществляться в действительности.

Разрешенные переходы, сопровождающиеся излучением или поглощением фотона, подчиняются так называемым правилам отбора, неразрешенные — правилам запрета.

Эти правила следуют из законов сохранения и в первую очередь, из закона сохранения момента импульса.

Будем рассматривать только однофотонные процессы, рис. 1. Двух- и многофотонные процессы излучения крайне маловероятны.

Рис. 1.

Закон сохранения момента импульса при испускании атомом одного фотона запишется в виде:

JH = JK + SΦ ,

где JH — начальный момент импульса атома до излучения фотона (в единицах h ) JK — после излучения, а Sф — вектор спина фотона.

Так как спин фотона равен единице, то атом из начального состояния без момента импульса

JH = 0

после излучения должен приобрести момент импульса:

JK = 1.

Аналогичным образом, в конечное состояние с JK = 0 атом может перейти только из состояния JH= - 1.

Следовательно, если в начальном или конечном состоянии J = 0, переход с излучением или поглощением

возможен лишь при изменении J на единицу:

J = ±1 .

Переходы из квантового состояния с J = 0 в другое состояние также с J = 0 запрещены.

Если J ≠ 1 , то как видно из рис. 1, при сложении единичного вектора (SФ = 1) с вектором J длина последнего может измениться на единицу или не измениться совсем.

Таким образом, возникает следующее правило отбора при излучении:

Аналогичным образом, для квантового числа mj найдем:

Излучение света связано с электромагнитными свойствами электрона.

С электромагнитной волной взаимодействует как заряд, так и магнитный момент атома.

Испускание света возможно либо в результате изменения движения заряда (изменение L), либо в результате поворота собственного магнитного момента (изменение S), либо по обеим причинам сразу.

Расчеты и опыт показывают, что для электромагнитного излучения оптического диапазона взаимодействие фотона с зарядом электрона оказывается значительно сильнее взаимодействия с магнитным моментом. Поэтому вектор спина при испускании фотонов не должен претерпевать изменений: S = 0 .

Приведенные правила отбора с учетом последнего замечания могут быть переписаны следующим образом:

Если переход атома с уровня на уровень происходит не с помощью электромагнитного излучения, то правила отбора оказываются другими.

В качестве примера рассмотрим тест.

Рис. 2.

На рисунке 2 схематически представлена система энергетических уровней атома водорода. Правилами отбора запрещены переходы ...

Очевидно, что правильный ответ – № 2.

2. СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Предположим, что электрон в водородоподобной системе находится в некотором энергетическом состоянии, характеризуемом главным квантовым числом п. Волновая функция электрона в этом состоянии, имеет вид

(1)

Вероятность нахождения электрона в элементе

Таким образом, в квантовом состоянии, характеризуемом квантовым числом n, вероятность местоположения электрона в атоме не зависит от времени и не изменяется с течением времени. Электрон в таком состоянии с классической точки зрения не совершает колебаний и не излучает энергию. Его энергия Wn не изменяется. Энергетическое состояние электрона, характеризуемое определенной энергией Wn, является стационарным. Находясь в этом состоянии, электрон не излучает энергии.

С точки зрения квантовой механики стационарное состояние атома должно сохраняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии атома. Однако опыт показывает, что атом, находящийся в возбужденном энергетическом состоянии, сам собой переходит в нормальное, невозбужденное состояние, излучая свет.

Излучение, происходящее в отсутствие внешних причин, изменяющих энергию атома, называется

самопроизвольным, или спонтанным, излучением.

Для строгого объяснения спонтанных переходов атома из высших энергетических состояний в низшее недостаточно одних законов квантовой механики и приходится прибегать к квантовой электродинамике, в которой рассматриваются с общей точки зрения законы возникновения и исчезновения электромагнитного поля.

(Последовательная теория излучения и поглощения света была развита впервые П. Дираком (1927)).

Мы воспользуемся статистической теорией излучения, созданной Эйнштейном (1916), базирующейся на законах сохранения энергии и импульса при взаимодействии квантовых систем с электромагнитным полем.

Рассмотрим, согласно Эйнштейну, спонтанное излучение атома. Если атом в некоторый момент времени t находится в квантовом состоянии п и обладает энергией Wn, то под действием внутренних воздействий, механизм которых невозможно детально проследить, атом может самопроизвольно перейти в некоторое состояние т, характеризуемое меньшей энергией Wm. Введем вероятность Апт того, что в течение 1 с осуществляется спонтанный переход атома из состояния п в состояние т.

Величина Апт называется коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения. Введение ее обусловлено тем, что самопроизвольный переход из состояния п в состояние т может и не произойти, так как в соответствии с выводами квантовой механики атом может оставаться еще некоторое время в состоянии п.

Если Nn есть число атомов, находящихся на энергетическом уровне Wn в момент времени t, то число — dNn атомов, перешедших за промежуток времени от t до t + dt в состояние т, пропорционально вероятности Апт спонтанного перехода, числу атомов Nn и промежутку времени dt:

(2)

Знак минус указывает на убыль числа атомов на уровне п. После интегрирования получим

(3)

где Nn0 — число атомов на уровне п в начальный момент времени t = 0.

Каждый переход из состояния п в состояние т сопровождается излучением кванта света (фотона) с частотой ωnm , определяемой правилом частот Бора:

(4)

Энергия, испускаемая за время dt,

(5)

Интенсивность излучения, т.е. энергия, испускаемая в единицу времени,

(6)

где I0 = AnmhωnmNn0 — начальная интенсивность излучения

(при t = 0).

Назовем средней продолжительностью жизни τ n

атома в возбужденном состоянии время, в течение которого число атомов первоначально находившихся на возбужденном уровне п, уменьшается в е раз:

имеет ясный физический смысл: это величина, обратная среднему времени жизни атома в возбужденном состоянии.

С учетом (7) формулу (6) можно переписать:

(8)

Проверка экспоненциального закона (8) убывания интенсивности излучения и измерение величины т„ были осуществлены Вином в опытах со свечением каналовых лучей. Вин изучил свечение пучка каналовых лучей, распространяющихся в пространстве со столь высоким вакуумом, что соударений между частицами не происходило и возбужденные частицы высвечивались только за счет конечности времени жизни возбужденного состояния. Вин измерял для отдельной спектральной линии убывание интенсивности вдоль пучка лучей, прошедших со скоростью v некоторый путь х, так что t = x/v. Величина т„ определялась из формулы (8) по известным значениям интенсивностей I0 и I .

состоянии, после чего они спонтанно переходят в нижерасположенные энергетические состояния.

Конечность времени жизни τ n атома в

возбужденном состоянии приводит к тому, что энергия Wn атома в возбужденном состоянии может быть найдена лишь с некоторой неопределенностью Wn вытекающей из соотношения неопределенностей Гейзенберга:

шириной энергетического уровня Wn.

Значение Wn или τ n определяет естественную ширину ν nm спектральной линии при переходе с уровня

п на уровень т по правилу частот Бора,

что соответствует λ ~ 10 4 А .

Помимо естественной ширины спектральных линий существуют другие причины, приводящие к уширению спектральных линий.

Например, ударное уширение связано с тем, что в результате соударений возбужденных атомов уменьшается время жизни атома в возбужденном состоянии и спектральная линия уширяется.

Второй причиной дополнительного уширения является эффект Доплера. Вследствие того, что излучающие возбужденные атомы движутся в различных направлениях и с различными скоростями, возникает доплеровское уширение спектральной линии.

3. ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Если атом находится в пространстве, где имеется электромагнитное поле, то между атомом и полем происходит взаимодействие, определяемое законами сохранения энергии и импульса.

Вклассической электродинамике доказывается, что диполь, находящийся в электромагнитном поле падающей на него волны, может в зависимости от соотношения фаз между собственными колебаниями диполя и колебаниями поля в волне либо поглощать энергию из поля, либо отдавать ее полю в виде вынужденного излучения.

Впоследнем случае говорят об отрицательной абсорбции света в отличие от обычного поглощения

(положительная абсорбция).

Атом, находящийся в электромагнитном поле, обладает свойствами, аналогичными свойствам классического диполя: в присутствии поля должно происходить вынужденное излучение атома. Это означает, что атом, находящийся на некотором возбужденном энергетическом уровне п, может с некоторой вероятностью перейти под действием поля в низшее состояние т. Поле как бы «сваливает» атом с возбужденного уровня вниз.

Явление вынужденного излучения нашло свое экспериментальное подтверждение в принципиально новых квантовых источниках и усилителях света, созданных в середине XX в. – лазерах.

Вероятность вынужденного испускания под действием поля пропорциональна спектральной плотности энергии поля и некоторому коэффициенту Впт, который называется коэффициентом Эйнштейна для вынужденного (индуцированного) излучения.

Эту вероятность записывают в форме Bnmρ (ν ).

Полная вероятность того, что возбужденный атом с уровня п в единицу времени перейдет на низший уровень т с испусканием фотона hv спонтанно или вынужденно, выразится суммой Anm + Bnmρ (ν ) . Число dN'n атомов, которые из общего числа Nn атомов на уровне п перейдут в состояние т за время t ,

Взаимодействие с электромагнитным полем атомов, находящихся на уровне т, может привести к тому, что атом, поглощая фотон с энергией hv = Wn — Wm перейдет в более высокое энергетическое состояние п.

Вероятность того, что за 1 с произойдет акт поглощения, по аналогии с предыдущим можно записать так: Bnmρ (ν ), здесь Втп — коэффициент Эйнштейна для поглощения света.

Число актов возбуждения атомов за время dt равно

где Nm — число атомов на уровне т в момент времени t.

В состоянии термодинамического равновесия вещества и электромагнитного поля должно быть

равновесие между процессами испускания и поглощения света, т. е. равенство полного числа актов испускания и поглощения света.

Поскольку речь идет о переходах между двумя произвольно выбранными уровнями пит, говорят, что существует принцип детального равновесия:

для двух произвольно выбранных уровней в системе, находящейся в термодинамическом равновесии, должно быть равенство между процессами испускания и поглощения света.

Этот принцип выражен уравнением

(9)

Такое равновесие устанавливается в замкнутой полости, температура T стенок которой поддерживается постоянной. Равновесие, возникающее в результате излучения и поглощения электромагнитных волн атомами стенки, приводит в этом случае к формуле Планка.

Для нас важно знать соотношение между коэффициентами Эйнштейна для индуцированного излучения. Для этого учтем, что число атомов, находящихся в различных энергетических состояниях, описывается статистической формулой Больцмана:

(10)

где N0 — число атомов на некотором энергетическом уровне, принятом за начало отсчета энергии.

Тогда, подставив (10) в уравнение (9) и разрешая его относительно ρ (ν ) , имеем

(11)

Подставив в (11) T → ∞ , имеем

т.е. равенство коэффициентов Эйнштейна для вынужденного (индуцированного) излучения света и вынужденного (индуцированного) излучения

поглощения света.

4. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА

Индуцированное (стимулированное) излучение может приводить к отрицательному поглощению света.

Активной (усиливающей) называется такая среда, в которой интенсивность проходящего света возрастает.

Возможность существования такой среды вытекает из явления вынужденного излучения. Это излучение по своим характеристикам тождественно с тем излучением, которое, проходя через вещество, вызывает индуцированное излучение. Новый фотон, образовавшийся в результате перехода атома (или молекулы) с высокого энергетического состояния на низкий под действием света, имеет ту же энергию и направление, что и фотон, стимулировавший появление первого.

На волновом языке эффект вынужденного излучения сводится к увеличению амплитуды проходящей волны без изменения ее частоты, направления распространения, фазы и поляризации. Другими словами, вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением.

Новый фотон, возникший в результате индуцированного излучения, усиливает свет, проходящий через среду.

Однако следует иметь в виду, что кроме индуцированного излучения происходит процесс поглощения света. В результате поглощения фотона атомом, находящимся на энергетическом уровне W1 фотон исчезнет

и атом перейдет на энергетический уровень W2 (рис. 3, а). При этом уменьшается мощность света, проходящего через среду. Акты поглощения уменьшают число фотонов, проходящих сквозь среду.

Рис. 3.

В результате актов вынужденного излучения фотон с энергией hv «сваливает» электрон с уровня W2 на уровень Wt и вместо одного фотона дальше летят два фотона (рис. 3, б).

Таким образом, имеются два конкурирующих друг с другом процесса. Усиливающее действие среды определяется тем, какой из двух процессов преобладает. Если преобладают акты поглощения фотонов, то среда будет не усиливающей, а ослабляющей свет, который через нее проходит. Если главную роль играют акты

вынужденного излучения, то среда усиливает свет.

Поглощение света в веществе (при относительно невысокой интенсивности света) подчиняется закону Бугера — Ламберта:

(13)

где а — положительный натуральный показатель поглощения; х — толщина поглощающего слоя; I0 — интенсивность света, входящего в среду; I — интенсивность света, прошедшего слой толщиной х.

В. А. Фабрикантом впервые были рассмотрены особенности среды с отрицательным поглощением света. Им было показано, что для такой среды закон (13) имеет другой вид (закон Бугера —Ламберта —Фабриканта):

(14)

Здесь \а'\ — положительная величина, что соответствует не ослаблению, а усилению света по мере прохождения его через вещество.

Иначе говоря, в усиливающей среде показатель поглощения среды становится отрицательным. Этим объясняется то, что подобную среду иногда называют средой с отрицательным показателем поглощения. Формула (14) указывает на крутое возрастание интенсивности света с увеличением толщины слоя усиливающей среды (рис. 4).

Рис. 4.

Это означает, что в такой среде из-за преобладания актов вынужденного излучения лавинообразно нарастает число фотонов. Два фотона, образовавшихся в одном акте индуцированного излучения, при встрече с двумя атомами, находящимися на возбужденном уровне, «свалят» атомы вниз и после этого будут лететь уже четыре одинаковых фотона и т.д. (рис. 5).

Рис. 5.

С волновой точки зрения, амплитуда электромагнитной волны и ее квадрат, пропорциональный интенсивности света, будут нарастать за счет энергии, получаемой от возбужденных атомов.

Лавинообразное нарастание интенсивности света в усиливающей (активной) среде означает, что такая среда действует как усилитель электромагнитных волн. Принцип подобного усиления был сформулирован В. А. Фабрикантом, М.М.Вудынским и Ф.А. Бутаевой (1951).

Оценим натуральный показатель поглощения а' некоторой среды, не предполагая специально, что она является усиливающей. Натуральный показатель поглощения а' в условиях, когда спонтанное излучение несущественно, должен определяться, вообще говоря, двумя противоположными процессами: поглощением и индуцированным излучением.

Рассмотрим два энергетических уровня W1 и W2 атомов (или молекул) среды, между которыми возможны три типа оптических процессов: спонтанное излучение, поглощение и вынужденное (стимулированное) излучение (рис. 6).

Рис. 6.

Предположим для простоты, что процессами спонтанного излучения, при которых возбужденные атомы самопроизвольно переходят в нормальное состояние, можно пренебречь. Ниже мы выясним, при каких условиях это возможно. Число фотонов, поглощенных атомами, находящимися на нижнем энергетическом уровне, пропорционально концентрации атомов N1 которые имеют энергию W1. Число актов вынужденного (стимулированного) излучения пропорционально концентрации атомов N2 на верхнем энергетическом уровне W2. Как было показано (12), что коэффициент пропорциональности в обоих процессах одинаков:

B12 = B21 .

Показатель поглощения а' в законе Бугера— Ламберта—Фабриканта (14), в свою очередь, пропорционален разности между числом актов поглощения и вынужденного излучения:

(15)

где k > 0 — коэффициент пропорциональности.

В состоянии термодинамического равновесия системы число атомов N2 на возбужденном уровне W2 меньше числа атомов N1 на более низком уровне W2, т.е.

N2 < 1.

N1

Поэтому в состоянии равновесия a′ > 0 . Это значит, что число актов обычного (положительного) поглощения превышает число переходов, сопровождающихся отрицательнымпоглощением, т.е. индуцированным излучением. Однако из (15) следует, что могут существовать такие среды, в которых натуральный показатель поглощения а' будет отрицательным (а' < 0). Для получения среды с отрицательным поглощением необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов N2 на возбужденном уровне было бы больше, чем число атомов N1 в нормальном состоянии, т.е.

N2 > 1 .

N1

Такие состояния принято называть инверсными

(обращенными) состояниями. Слово

«инверсия» означает переворачивание (от лат. inversio).

Процесс перевода среды в инверсное состояние называется накачкой усиливающей среды.

Наиболее естественной представляется оптическая накачка среды, при которой атомы переводятся с нижнего уровня W1 на верхний возбужденный уровень W2 облучением светом такой частоты v, что hv = W2— W1. Если усиливающая среда является газообразной, то перевод атомов на верхний энергетический уровень возможен при неупругих столкновениях атомов с электронами в газовом разряде (электрическая накачка).

Однако такие методы перевода атомов с нижнего уровня на верхний не приводят к инверсной заселенности атомов по уровням.

Вследствие спонтанного излучения атомов, нахо дящихся на возбужденных уровнях весьма малое время, а также в результате столкновения атомов с электронами, при которых возбужденные атомы отдают электронам свою энергию и переходят на нижние уровни, заселенность атомами верхних уровней будет меньше, чем нижних.

Этот общий результат показывает, что использование двух уровней W1 и W2 не эффективно для получения инверсной заселенности.

Существо метода, предложенного В. А. Фабрикантом, состояло в том, чтобы с помощью специальных молекулярных примесей избирательно