1.5.14. Решение линейных многомерно-матричных уравнений

на основе псевдообращения многомерной матрицы

Многоиндексные задачи линейного оценивания можно формализовать в виде многомерно-матричных уравнений

Y(p,0) = H(p,q)X(q,0) + V(p,0), (1.21)

где X(q,0)– гиперстолбец оцениваемых характеристик или массивов;Y(p,0)– гиперстолбец наблюдений или измерений;H(p,q)– известная переопределенная матрица преобразования;V(p,0)– гиперстолбец ошибок измерений. Операцию псевдообращения многомерной матрицыH(p,q)определяют через предел [4]:

H(q,p)=lim{[H(p,q)H(p,q)+a E(q,q)]H(p,q)};(1.22)

0

где a > 0– скаляр;E(q,q)– единичная многомерная матрица.

Рассмотрим пример. Для системы

найти pешение линейных многомерно-матричных уравнений на основе псевдообращения многомерной матрицы.На основе (1.22) можно записать равенство*X=.

Для любого a>0 определитель этой системы отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное решение

X= .

При 0 получаем X⁺= .

Важнейшим свойством многомерной псевдообратной матрицы является то, что операцию псевдообращения многомерной матрицы можно свести к операции псевдообращения ее табличного представления.

Матрица H⁺(q,p)может быть выражена через сингулярное разложение многомерной матрицыH(p,q).

Прямое и обратное сингулярные преобразования многомерной матрицы имеют вид

, (1.23)

, (1.24)

где U(p,p),V(q,q)– многомерные ортогональные матрицы собственных элементов для матрицH(p,q)H^T(p,q)иH^T(p,q),H(p,q)соответственно;l^1/2(p,q)– диагональная многомерная матрица сингулярных чиселH(p,q). Выражениедля псевдообращения H(p,q) через сингулярное разложение запишется в виде

. (1.25)

Псевдообращение диагональных элементов l^1/2(p,q)означает вычисление их обратных значений, а для «нулевых» элементов (величина «нулевых» элементов меньше некоторого малого числаt) результат псевдообращения будет равен нулю. Основная трудность вычисления псевдообратной матрицы через сингулярное разложение заключается в нахождении матрицU(p,p),V(q,q). После определения многомерной псевдообратной матрицы псевдорешение многомерного уравнения (1.21) находится в виде

. (1.26)

Это решение минимизирует норму

½½Y(p,0) – H(p,q)X(q,0)½½.

1.5.15. Решение линейных многомерно-матричных уравнений с помощью метода регуляризации а.Н. Тихонова

Для получения оценки X(q,0) согласно методу регуляризацииА.Н.Тихонова определим основной критерий I и стабилизирующий функционал W:

I = [H(p,q)X(q,0) – Y(p,0)]^TR^-1(p,p)*[H(p,q)X(q,0) – Y(p,0)] ; (1.27)

W = X(0,q)Г(q,q)X(q,0). (1.28)

Здесь Г(q,q)– положительно определенная многомерная матрица. При этом функционал А.Н.Тихонова можно записать в виде

I_k = I + l_kW . (1.29)

Дифференцируя (1.29) по X(q,0) и приравнивая производную к нулю, получим решение

X_k(q,0) = [H^T(p,q)R^-1_V(p,p)H(p,q) + l_kГ(q,q)]^-1[H^T(p,q)R^-1_v(p,p)Y(p,0)], (1.30)

где l_k– параметр регуляризации, обеспечивающий устойчивость решения;

– матрица, характеризующая свойства помехиV(p,0);.