1.5. Основные операции над многомерными матрицами

1.5.1. Умножение ММ на скаляр

При этом каждый элемент матрицы умножается на скаляр. С помощью мультииндексов это можно представить в виде

*={ }.

1.5.2. Сложение многомерных матриц

Суммировать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковые размерности, структуру и размеры. При этом суммирование осуществляется поэлементно: если

C(p,q)=A(p,q)+B(p,q) , то +.

1.5.3. Транспонирование ММ

Операция обозначается верхним индексом «Т» и заключается в замене структуры индексов на противоположную и в последующем упорядочении индексов в соответствии с правилами помечивания. Например, если

A=A(1,2)= {}, то B=A^T=B(2,1)= {},

так что = .

Структурные числа многомерной матрицы при транспонировании меняются местами: [A(p,q)]^T=[B(q,p)].

1.5.4. Свернутое произведение многомерных матриц

Оно образуется по следующим правилам.

1. Столбцовые индексы сомножителей или преобразуются (свертываются), или сохраняют свой порядок.

2. Строчные индексы или свертываются, или, сохраняя порядок в отдельных сомножителях, представляются обратно порядку следования сомножителей.

3. Все несвернутые индексы упорядочиваются в соответствии с правилами помечивания.

4. Свертка индексов производится тогда и только тогда, когда первый сомножитель содержит строчные индексы, а второй – столбцовые и размеры соответствующих индексов (столбцового и строчного) совпадают.

5. Свертка строчных индексов первого сомножителя по столбцовым индексам второго сомножителя производится в соответствии с их естественным порядком: первый строчный индекс первого сомножителя свертывается с первым столбцовым индексом второго сомножителя, второй – со вторым и т.д.

6. Свертка двух индексов заключается в том, что элемент результата образуется путем суммирования произведений элементов сомножителей по свернутому индексу. При этом два свернутых индекса обозначаются одинаково и теряют свою структуру. В индексном представлении многомерных матриц над свернутыми индексами целесообразно ставить знак ^о, что позволяет опускать знак суммы. Например, если С(1,1)=А(1,1)В(1,1), то

= . = . .

1.5.5. Кронекеровское произведение многомерных матриц

Данная операция является одним из средств, порождающих матрицы высоких размерностей, так как размерность и структурные числа результата являются соответственно суммой размерностей и структурных чисел сомножителей: А(р_А,g_A)B(p_B,g_B) = C(p_C,g_C) = C(p_A+p_B,g_A+g_B). Здесь- знак кронекеровского умножения многомерных матриц; р,g– структурные числа (столбцовые р или строчныеg).

Табличное представление матрицы С, являющейся кронекеровским произведением, получается путем замены элементов матрицы А на скалярное произведение этих элементов и матрицы В:

*B.

Если использовать индексное представление многомерных матриц, то кронекеровское произведение отображается следующим образом:

=.

При этом все индексы матрицы С должны быть расставлены по правилу помечивания с учетом того, что столбцовые (строчные) индексы матрицы А предшествуют столбцовым (строчным) индексам матрицы В. Например, если С(4,3) = А(1,2) В(3,1), то

{a_i⁺_j^-_l^-}{b_m⁺_n⁺_f⁺_k^-} = {c_i⁺_m⁺_j^-_n⁺_l^-_f⁺_k^-}.