1.2. Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество

АВ = {xxA или хВ}.(1.1)

Пересечением множеств а и в называется множество

АВ = {xxA и хВ}.(1.2)

Разностью множеств а и в называется множество

А\В = {xxA или хВ}.(1.3)

Универсальным множеством I называется такое множество, в которое другие рассматриваемые множества входят как подмножества. Универсальное множество удобно изображать графически в виде множества точек прямоугольника. Отдельные области внутри этого прямоугольника будут означать различные подмножества универсального множества. Изображение в виде областей в прямоугольнике, представляющем собой универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна. Универсальное множество обладает интересными свойствами

XI = I, (1.4)

XI =X. (1.5)

Множество , определяемое из соотношения , называется дополнением множестваX(до универсального множестваI). На диаграмме Эйлера-Венна (рис. 1.1) множествопредставляет собой незаштрихо-ванную область.

С

X

емейство {x₁, x₂, …, x_k} называется покрытием множестваХ, если имеет место равенствоX= x₁x₂…x_k. При этомx₁, x₂, …, x_kназывают блоками покрытия. Важным частным случаем покрытия является разбиение. Семейство множеств{x₁, x₂, …, x_k} называется разбиением множества Рис.1.1

cблокамиx₁, x₂,…, x_k, еслиX=x₁x₂…x_k;

x_i>0, x_ix_j = , i  j, 1 i,j  k. Здесь x_i - число элементов множества x_i.

1.3. Тождества алгебры множеств

С помощью изложенных в п. 1.2 операций над множествами можно из множеств составить различные алгебраические выражения. При этом само алгебраическое выражение представляет собой некоторое множество. Если два алгебраических выражения представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг к другу, получая алгебраическое тождество. Приведем основные из тождеств, отражающих одновременно свойства операций над множествами.

1. Идемпотентность: АА = А; АА = А.(1.6)

2. Коммутативность: АВ = ВА; АВ = ВА. (1.7)

3. Ассоциативность: (АВ)С = А(ВС);(1.8)

(АВ)С= В(АС).(1.9)

4. Дистрибутивность: А(ВС) = (АВ)(АС)(1.10)

А(ВС) = (АВ)(АС).(1.11)

5. Поглощаемость: А(АВ) = А; (1.12)

А(АВ) = А.(1.13)

6. Единственность обратного: =A. (1.14)

7. Тождества де Моргана:

; (1.15)

. (1.16)

1.4. Упорядоченные множества элементов. Cтруктура

^{и споcобы представления многомерных матриц [3,4]}

Наряду с понятием множества как совокупности неупорядоченных элементов важным является понятие упорядоченного множества элементов. Многомерной матрицей (ММ) называется упорядоченная совокупность многоиндексных элементов_i1i2…i,гдеi_=1,2,…n_;Целые положительные числа,N_A=n₁n₂…n_,n_называются соответственно размерностью матрицы А, размером матрицы А, размером индексаi_. Размерностьпоказывает число индексов в обозначении элементов_i1i2…iматрицы. РазмерN_AматрицыАуказывает общее число элементов матрицы. Размер индексаn_показывает, сколько значений (от 1 доn_) пробегает соответствующий индекс.

Структура многомерных матриц определяется структурой их индексов. Структура индекса может быть столбцовой или строчной. Индексы, имеющие, например, строчную структуру (строчные индексы), показывают положение элементов внутри какого-либо столбца. При индексном представлении элементов матрицы целесообразно ставить знак + или – соответственно над столбцовым или строчным индексом. Например, - элементы обычной двухмерной (плоской) матрицы. Общее представление многомерной матрицы А имеет видА = А(p,g), где р – число столбцовых индексов,g– число строчных индексов. Для получения индексного представления многомерной матрицы вводится помечивание индексов. Пометка начинается с последнего индекса, который приg0 принимается за строчный. Далее столбцовые и строчные индексы чередуются до тех пор, пока один из видов индексов не исчерпывается. Приpgвсе оставшиеся индексы принимаются за столбцовые, приpg– за строчные. Числаpиgв сумме дают размерностьматрицы А:p+g=. Если матрица А является функциональной, например зависит от времениt, от пространственных координатx,yи т.д., то структурные числаpиgследует отделять от аргументов точкой с запятой, напримерA=A(p,g;t,x,y). Для наглядного представления многомерной матрицы используют табличное представление.Табличное представление многомерной матрицы – это блочно-иерархическая таблица, отображающая на плоскости структуру матрицы и численные значения элементов. Иерархия согласована с иерархией индексов таким образом, что крайним левым индексам соответствуют наиболее крупные блоки. При этом столбцовые индексы изменяются в столбцах, а строчные – в строках. Примеры представления многомерных матриц приведены в табл.1.1.

Таблица 1.1

Общее представление	Индексное представление	Табличное представление
А(0,1)	{} i =	i = 1 i = 2
А(1,2)	{} i,j,k =	i=1 i=2 k=1 k=2 k=1 k=2 j=1 111 112 211 212 j=2 121 122 221 222

В некоторых частных, но важных случаях приходится пользоваться плоскими табличными представлениями многомерной матрицы, которые являются обычными плоскими матрицами и получаются из табличного представления путем снятия всех перегородок. Их обозначают следующим образом:А_табл = {A(p,g)}_табл.

В ряде случаев записи математических выражений удобно представлять многомерные матрицы с помощью мультииндексов

, (1.17)

где ⁺ - столбцовый мультииндекс, имеющий вид столбца⁺ = [i₁⁺, i₂⁺,…,I_p⁺]^T;

- строчный мультииндекс, имеющий вид строки =[j₁⁺, j₂⁺,…,j_q⁺]^T.

Следует отметить, что обозначение мультииндексов в соотношении (1.17) является условным, так как индексы должны располагаться в соответствии с правилом помечивания, т.е. чередоваться, а не группироваться по столбцовому и строчному признакам, как это следовало бы из буквального понимания соотношения (1.17).