17

Введение

Круг задач, которые представляются дискретными моделями, чрезвычайно широк и разнообразен: графы, транспортные потоки, логические системы, информацинно-поисковые системы, системы распознавания образов и многие другие. Также, существует много задач, которые трудно или невозможно решить без того, чтобы не свести их к задачам дискретной оптимизации. Это, например, широкий класс задач нелинейной оптимизации. Особую трудность в решение дискретных задач вносит специфика многоуровневого управления, заключающаяся в том, что в дискретных моделях используются многоиндексные переменные. Однако методы формализации таких задач и алгоритмы их решения, как правило, излагаются разрозненно, в отдельных научных монографиях, статьях. Данное пособие позволит преодолеть этот разрыв и даст возможность студентам более обоснованно подойти к вопросам автоматизации проектирования дискретных многоуровневых систем, более глубоко освоить методы решения задач дискретной оптимизации.

1. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ОСНОВЫ ОПИСАНИЯ

Дискретных систем

1. Основные понятия теории множеств[1,2]

Понятие множества является одним из наиболее фундаментальных в современной математике. Основоположник теории множеств Георг Кантор дал следующее определение этому понятию: «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое хорошо различимых объектов нашей интуицией или нашей мыслью». Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Например, совокупность узлов некоторой заданной системы представляет собой множество. Множества обычно обозначаются большими латинскими буквами A,B,Cи т.д., а элементы множеств – строчными латинскими буквамиa,b,cи т.д. Принадлежность элемента к множеству фиксируется записьюxX, где- символ принадлежности (читается: «х принадлежит Х» или «х входит в Х», или «х есть элемент множества Х»). Противоположное утверждение записывается в видехХ.

Различают конечные множества, состоящие из конкретного числа элементов, бесконечные множества с бесконечным числом элементов и пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Конечное множество, состоящее из некоторого числа nэлементов, может быть задано простым перечислением этих элементов, которые записываются в фигурных скобках:X={x₁,x₂,…,x_n}.Другой способ, используемый при задании как конечных (при большом числе их элементов), так и бесконечных множеств, состоит в указании некоторого свойстваР(х), которым обладают элементы данного множестваxX. Соответствующая запись имеет видX={x/P(x)}и читается: «Х есть множество таких элементов, которые обладают свойствомР(х)». Пустое множество фиксируется посредством символа.

Множество Yназывается подмножеством (частью) множества Х, если оно содержит только элементы, входящие вХ. Формальная запись при этом имеет видYX, где- символ включения для множеств. Из приведенного определения следует, что для произвольного множества Х всегда имеют место соотношенияXYиYX, т.е. множества состоят из одинаковых элементов. МножествоYназывается собственным подмножеством множестваХ, если выполняются следующие условия:YX,YX,Y. Данному определению соответствует записьYX, где- символ строгого включения для множеств. Строгое включение, так же как и простое, обладает свойством транзитивности.