2.2.3. Определение матриц ограниченных достижимостей
и ограниченных обратных достижимостей с помощью
прямых и обратных отображений
Матрицы достижимостей и обратных достижимостей, определяемые в п.2.2.2, являются полными в том смысле, что на длины путей от xiиxjне накладывались никакие ограничения. С другой стороны, можно определить матрицы ограниченных достижимостей и обратных достижимостей – надо потребовать, чтобы длины путей не превышали некоторого заданного числа. Эти матрицы также могут быть построены с помощью соотношений (2.5) и (2.6) – надо действовать точно так, как раньше, при нахождении «неограниченных» матриц, но теперь р будет верхней границей допустимых путей.
2.2.4. Определение матриц достижимостей и обратных
достижимостей с помощью матрицы смежности
Матрица смежности, как отмечалось выше, полностью определяет структуру графа. Возведем матрицу смежности в квадрат. Пусть элемент d(2)ikматрицыА2определяется по формуле
(2.7)
Слагаемое (dijdjk)в уравнении (2.7) отлично от нуля тогда и только тогда, когда оба числаdij иdjkотличны от нуля, в противном случае слагаемое равно 0. Поскольку из соотношенийdij ¹ 0, djk ¹ 0следует существование путей длиной 2 из вершиныxiк вершинеxk, проходящих через вершинуxj, тоd(2)ikравно числу путей, идущих изxiвxk.
Аналогично, если d(p)ikявляется элементом матрицыAр, тоd(p)ikравно числу путей длиной р, идущих отxiкxk.
Однако надо подчеркнуть, что в матрицах достижимостей и обратных достижимостей не требуется учета числа путей из вершины xiв вершинуxj. В матрицах отмечается лишь то, что есть такой путь или его нет, т.е. необходима операция нормализации. С учетом последнего замечания формула для определения матрицы достижимостейRна основе матрицы смежности А имеет вид
R = (E + A + A2 + … + Ap) //норм. (2.8)
Здесь Е – единичная матрица, а «норм» означает операцию нормализации, заключающуюся в том, что элементы матрицы R, не равные нулю, заменяются на 1.
Таким образом, матрица Rможет быть получена последовательно выполняемой (слева направо) операцией суммирования указанных в (2.7) матриц до тех пор, пока «текущая» матрица не перестанет изменяться при очередной операции суммирования. Для получения матрицы ограниченных достижимостей значение р должно быть ограничено.
С учетом определения (2.4) матрицу обратных достижимостей можно определить с помощью матрицы смежности по формуле
Q = (E + AT + (AT)2 + … + (AT)P) // норм. (2.9)
Аналогично предыдущему случаю для получения матрицы ограниченных обратных достижимостей необходимо ограничить величину р.
Формулы (2.8) и (2.9) справедливы как для одноуровневых (вершины задаются одним индексом), так и для многоуровневых (вершины задаются несколькими индексами) графов. Так, для многоуровневого графа (рис. 2.3) матрицaдостижимостей , вычисленная на основе формулы (2.8) , имеет вид
R(2,2)={r
}=
-
k=1
k=1
k=1
k=2
k=2
k=2
l=1
l=2
l=3
l=1
l=2
l=3
i=1
j=1
1
0
1
0
0
0
i=1
j=2
1
1
1
0
0
0
i=1
j=3
0
0
1
0
0
0
i=2
j=1
0
0
0
1
0
1
i=2
j=2
1
1
1
1
1
1
i=2
j=3
0
0
0
0
0
1