52

2. Основные определения теории графов

2.1. Понятие о графе. Способы задания графа [4,5].

2.1.1. Задание графа множествами вершин и линий

Граф геометрически представляет собой множество точек, соединенных линиями. Для более полного математического определения графа введем ряд обозначений. Множество точек или вершин х₁,х₂,…х_nграфаGобозначим черезХ, а множество линийd₁,d₂,…d_m, соединяющих между собой эти вершины – символомА. Тогда графGможно полностью задать парой(Х,А).

Если соединяющиеся линии из множества Аориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами и граф с такими линиями называется ориентированным графом. Если соединяющие линии не ориентированы, то они называются ребрами, а граф называется неориентированным. В смешанном графе могут быть дуги (ориентированные линии) и ребра (неориентированные линии). На рис. 2.1 изображен ориентированный граф.

Дуга такого графа задается упорядоченной парой, состоящей из начальной и конечной вершин, ее направление предполагается заданным от первой вершины ко второй. Для подчеркивания ориентации ребра упорядоченная пара обозначается сверху Рис. 2.1 символом вектора, например знаком®.

Граф на рис. 2.1. можно представить в виде

G₁={ x₁, x₂, x₃; (x₁,x₂), (x₂,x₃), (x₃,x₁)}

На рис. 2.2 изображен смешанный граф, и его представление имеет вид

G₂={ x₁, x₂, x₃; 2(x₁,x₂), (x₂,x₃), (x₃,x₁)} ,

где цифра 2 означает две дуги из вершины х₁в вершину х₂.

Рис. 2.2

2.1.2. Задание графа с помощью отображения

Иногда бывает удобно дать графу другое определение. Можно считать, что множество направленных дуг А, соединяющих элементы множества Х, отображает это множество само в себя. Граф Gможно считать заданным, если даны множество его вершин Х и способ отображения Г множества Х в Х, т.е.G=(X,Г).

Для графа (рис. 2.1) отображение Г определяется следующим образом:

Г(х₁) = {x₂}; Г(х₂) = {x₃}; Г(х₃) = {x₁}.

В случае неориентированного графа или смешанного графа, содержащего и дуги, и неориентированные ребра (например, граф, изображенный на рис. 2.2), предполагается, что отображение задает такой эквивалентный ориентированный граф, который получается из исходного графа заменой неориентированного ребра двумя противоположно направленными дугами, содержащими те же самые вершины. Так, например, для графа (рис. 2.2) имеем

Г(х₁) = {2x₂,x₃}; Г(х₂) = {x₃}; Г(х₃) = {x₁,x₂}. (2.1)

2.1.3. Задание графа с помощью обратного отображения

Поскольку Г(х_i)представляет собой множество таких вершинx_jÎ X, для которых в графеGсуществует дуга(x_i,x_j), то черезГ^-1(x_i)естественно обозначить обратное отображение, т.е. множество вершинx_k, для которых вGсуществует дуга(x_к,x_i). Граф можно задавать с помощью обратного отображения вершин. Тогда, например, для графа (рис. 2.2) можно записать

Г^-1(х₁) = {x₃}; Г^-1(х₂) = {2x₁,x₃}; Г^-1(х₃) = {x₁,x₂}. (2.2)

Вполне очевидно, что для неориентированного графа Г ^-1(х_i) = Г(х_i) для всех хÎ Х.

2.1.4. Матричное представление графа

Для алгебраического задания графа удобно использовать матрицу смежности. Матрицей смежности графа, содержащего nвершин, называется квадратная матрица А размером (nxn), в которой элементыa_ij, стоящие на пересеченииi-й строки иj-го столбца, численно равны количеству дугграфа, идущих из i-й вершины в j-ю. Для графа (рис. 2.2) матрица смежности имеет вид

A(1,1)={a}=

	J=1	J=2	J=3
i=1	0	2	1
i=2	0	0	1
i=3	1	1	0

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Множество столбцов, имеющих в строке x_iзначенияa_ij¹0, есть множествоГ(х_i)с соответствующими коэффициентами (2.1), а множество строкi, имеющих в столбцеx_jзначенияa_ij¹0, совпадает с множествомГ^-1(х_j)с соответствующими коэффициентами (2.2). Согласно определению матрицы смежности неориентированным графам соответствуют симметричные матрицы смежности. Матрица смежности для многоуровневого графа строится аналогично.

В графе (рис. 2.3) каждая вершина x_ijимеет два индекса:i– номер уровня;j– номер вершины данного уровня.

Рис. 2.3

Матрица смежности для графа (рис. 2.3) имеет вид A(2,2)={a}=

		K=1	K=1	K=1	K=2	K=2	k=2
		L=1	L=2	L=3	L=1	L=2	L=3
I=1	J=1	0	0	1	0	0	0
I=1	J=2	1	0	1	0	0	0
I=1	J=3	0	0	0	0	0	0
I=2	J=1	0	0	0	0	0	1
I=2	J=2	0	1	0	1	0	1
I=3	J=3	0	0	0	0	0	0

,

где индексы i, jхарактеризуют начальную вершинуx_ij,а индексыk,l– конечную вершинуx_kl.