3.3. Определение кратчайшего остова неориентированного графа на основе упорядочения ребер графа (алгоритм Краскала)

Такая задача возникает при прокладке дорог, газопроводов, линий электропередач, линий связи и т.д., когда необходимо связать nточек так, чтобы общая длина «линий связи» была минимальной. Следует отметить, что «кратчайший остов графа» не имеет никакого отношения к дереву, дающему все кратчайшие пути, выходящие из некоторой выбранной вершины. Так, для графа (рис. 3.1), где числа, стоящие около ребер, являются их весами, дерево, дающее все кратчайшие пути, выходящие из вершиных₁, изображено на рис.3.2, а кратчайший остов графа представлен на рис. 3.3.

X1

Рис. 3.1. Исходный граф с проставленными весами ребер

X1

Рис. 3.2. Кратчайшие пути из вершины X1

Рис. 3.3. Кратчайший остов графа

Итак, кратчайший остов графа связывает кратчайшим образом все вершины графа, а не только х₁с другими вершинами.

Для построения кратчайшего остова с помощью алгоритма, изложенного в п. 3.3, необходимо в п.3.2(2) сформировать последовательность ребер в порядке возрастания их весов.

3.4. Построение кратчайшего остовного дерева с помощью алгоритма Прима в табличной форме

По заданному графу заполняется матрица весов W(N,N). Веса несуществующих ребер предполагаются сколь угодно большими. Образуется массивP(N) меток вершин графа (столбцов матрицы весов). Алгоритм решения задачи заключается в последовательном заполнении массива меток столбцов и состоит из следующих этапов.

Предварительный этап. Обнуляется массивP(N) меток столбцов таблицы. Произвольно выбранному столбцу присваивается значение метки, равное его номеру.

Этап, повторяющийся N-1 раз (общий этап).В строках, номера которых равны номерам помеченных столбцов, находится минимальный элемент среди элементов непомеченных столбцов. Столбец, в котором находится минимальный элемент, помечается меткой, номер которой равен номеру его строки. В случае если минимальных элементов несколько, то выбирается любой. После помечивания очередного столбца элементу, симметричному относительно главной диагонали (для многомерного графа - с ”транспонированными индексами”), присваивается сколь угодно большое значение.

Заключительный этап.Ребра, включенные в минимальное остовное дерево, определяются по меткам столбцов. Вес остовного дерева задается суммой весов входящих в него ребер.

Пример

Известна стоимость обеспечения связи между источником и потребителями информации (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Исходный граф с проставленными весами ребер

Нужно синтезировать топологию сети, обеспечивающей минимальную стоимость. Требуется определить методами Краскала и Прима минимальное остовное дерево графа G(5, 10), представленного на рис. 3.4.

Метод Прима. Матрица весов, получаемая после предварительного этапа алгоритма, представлена в табл. 3.1, где в качестве начальной выбрана вершина 3.

Таблица 3.1

_ _ 3_ _

1 2 3 4 5

1 5 10 8 9

2 5 3 7 1

3 10 3 2 6

4 8 7 2 4

5 9 1 6 4

Задачей общего этапа является помечивание всех столбцов таблицы. В 3-й строке находится минимальный элемент w₃₄=2. 4-й столбец, содержащий минимальный элемент, помечается номером строки, где этот элемент находится. Элементуw₄₃присваивается сколь угодно большое значение. В непомеченных столбцах 3-й и 4-й строк находится минимальный элементw₃₂=3. 2-й столбец, его содержащий, помечается номером 3-й строки. Элементуw₂₃присваивается сколь угодно большоезначение. После этого шага матрица имеет вид, представленный в табл. 3.2.

Таблица 3.2

_ 333_

1 2 3 4 5

15 10 8 9

2 5 7 1

3 10 3 2 6

4 8 7 4

59 1 6 4

В непомеченных столбцах 2, 3 и 4-й строк находится минимальный элемент w₂₅ =1. 5-й столбец помечается номером 2-й строки, где находится минимальный элемент. Элементуw₅₂присваивается сколь угодно большое значение. На очередном шаге общего этапа в непомеченных столбцах 2, 3, 4 и 5-й строк находится минимальный элементw₂₁=5. 1-й столбец помечается номером 2, элементуw₁₂присваивается сколь угодно большое значение. Таблица после этого шага имеет вид, представленный в табл. 3.3

Таблица 3.3

23332

1 2 3 4 5

110 8 9

2 5 7 1

3 10 3 2 6

4 8 7 4

5 9 6 4

Все столбцы таблицы помечены, общий этап закончен.

На заключительном этапе выписывается последовательность вершин, ребра между которыми включаются в минимальное остовное дерево. Это ребра, соединяющие вершины 1-2, 2-3, 3-4, 2-5.

Вес остовного дерева равен 5+3+2+1=11. Полученное остовное дерево показано на рис.3.5.

5 3

1

2

Рис. 3.5. Кратчайший остов графа

Метод Краскала. По заданному графу (рис.3.4) составляется список ребер (см. табл. 3.4), который на предварительном этапе упорядочивается в порядке возрастания весов (табл. 3.5). Ребро № 7, имеющее минимальный вес, включается в искомое остовное дерево (рис. 3.6). Второе по весу ребро № 6 также включается в остов. Следующее по весу ребро № 1 включается в остовное дерево, так как оно не образует цикла с ребрами № 6 и 7 (рис. 3.6). Ребро № 5 с минимальным весом среди оставшихся не включается в остов, так как оно образует цикл с ребрами № 1, 6 и 7. Следующее по весу ребро № 10 включается в остов. Вес остова равен 11, а его структура совпадает со структурой остова, полученного методом Прима (рис. 3.5).

Таблица 3.4 Таблица 3.5

	№		Вес				Начало			Конец
	1		3				2			3
	2		10				1			3
	3		8				1			4
	4		9				1			5
	5		4				4			5
	6		2				3			4
	7		1				2			5
	8		6				3			5
	9		7				2			4
	10		5				1			2

№	Вес	Начало	Конец
7	1	2	5
6	2	3	4
1	3	2	3
5	4	4	5
10	5	1	2
8	6	3	5
9	7	2	4
3	8	1	4
4	9	1	5
2	10	1	3

5 3

1 2

Рис. 3.6. Кратчайший остов графа на основе метода Краскала

Реализация алгоритма Краскала требует предварительной сортировки весов всех ребер. Алгоритм Прима не имеет этого недостатка.