1.1.6. Обращение многомерной матрицы

Многомерная матрица В=А^-1называется обратной по отношению к гиперквадратной матрицеА=(р,р), если выполняются следующие соотношения:

А(р,р)В = ВА(р,р) = Е(р,р). (1.2)

Обратная многомерная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель исходной гиперквадратной матрицы отличен от нуля. Численное обращение гиперквадратной матрицы может осуществляться путем плоского обращения ее двумерного табличного представления.

Псевдообратной многомерной матрицей В(g,p) = A⁺( g,p)по отношению к матрице А(р,g) называется матрица В, удовлетворяющая следующим аналогам условий Мура-Пенроуза :

a) A(p,g)B(g,p)A(p,g) = A(p,g);

б) B(g,p)A(p,g)B(g,p) = B(g,p);

в)[B(g,p)A(p,g)]^T = B(g,p)A(p,g);

г) [A(p,g)B(g,p)]^T = A(p,g)B(g,p).

Псевдообратная матрица всегда существует, и ее табличное представление совпадает с результатом псевдообращения двумерного табличного представления исходной матрицы. При этом выполняется условие – если обратная матрица существует, то она совпадает с псевдообратной: A⁺(p,g) = A^-1(p,g).

Таким образом, общее правило получения обратной матрицы можно записать следующим образом.

1. Обратная матрица строится на основе обращения (псевдо-обращения) ее табличного представления.

2. Индексы обратной матрицы располагаются так же, как при транспонировании матрицы. Построенная таким образом матрица определяет структуру обратной матрицы, а значения ее элементов устанавливаются по табличному представлению обратной матрицы. Примечание. Многомерные обратные матрицы могут использоваться для представления решения линейных многомерно-матричных уравнений типаА(р,р)Х(р,0)=В(р,0), которое дается соотношением:Х(р,0) =А^-1(р,р)В(р,0).

Порядок выполнения работы

1. В режиме обучения выполнить основные операции над многомерными матрицами (рис.1.1).

При выполнении можно воспользоваться подсказками (рис.1.2), результаты выполнения контролируются программой. Желательно на этапе обучения добиться безошибочного выполнения заданий путем многократного выполнения операций.

2. В режиме контроля выполнить основные операции над многомерными матрицами и оформить отчет о выполненной работе.

Содержание отчета

1. Краткое описание основных операций над многомерными матрицами.

2. Результаты выполнения работы в режиме контроля.

3. Выводы. Рекомендации по формированию пояснений на обучающем стенде в соответствии с результатами программного контроля (рис. 1.3).

Рис. 1.1. Обучающий стенд

Рис. 1.2. Обучающий стенд. Пример пояснения правила выполнения операции

Рис. 1.3. Результаты программного контроля выполнения работы

Лабораторная работа № 2

Экстремальный путь в графе.

Определение кратчайшего пути между двумя

вершинами графа

^{Цель работы}

^{Теоретическое и практическое изучение алгоритма решения задачи о кратчайшем пути между вершинами конечного графа в табличной форме.}

^{Теоретическая часть}

Рассмотрим алгоритм решения для случая многомерного графа. В конечном многомерном графе каждой дуге поставлено в соответствие число С_{i1,i2,,,il,m1,m2,,ml}, называемое длиной дуги из вершиныx_i1,i2,,ilв вершинуx_m1,m2,,ml. Требуется найти путь наименьшей длины, ведущий из некоторой вершиныSв некоторую вершинуt. Для использования табличного представления многомерных матриц введем помечивание индексовC_i1,i1,,m1,ml. Алгоритм включает в себя 3 шага.

Предварительный шаг.В табличном представлении матрицыCстолбецпомечивается знаком *. Диагональному элементу в столбце, т.е., придается значение. Помеченные вершины будем относить к множествуR, непомеченные – к, т.е.SÎR.

Общий шаг.Рассмотрим все дуги, исходящие из множества помеченных вершинRи заканчивающиеся на непомеченных вершинах. Для каждой дуги найдем

h_m,l=C_{m,m +}C_{m,l ,}

для чего входим в -строку и складываем диагональный элемент строкии элемент. Находим минимум, затем столбецl_iпомечаем значением мультииндекса, а диагональному элементу столбцаl_iпридаем значение=. И так до тех пор, пока не пометим вершинуt.

Заключительный шаг. Искомый путь определяем, двигаясь отtкSпо отметкам вершин.

Программа даёт возможность студенту пройти режим обучения, затем проверить свои знания в режиме контроля. В обоих режимах можно посмотреть структуру графа.