3.4. Решение задачи о кратчайшем пути в транспортной сети непосредственно по графу

Пусть дан конечный граф, каждой дуге которого поставлено в соответствие число c_ij, называемое длиной дуги. Требуется найти путь наименьшей длины, ведущий из некоторой вершиныSв некоторую вершинуt. Рассмотрим один из алгоритмов решения данной задачи – алгоритм Минти. Он позволяет связать кратчайшими путями фиксированную вершину сети со всеми остальными.

Предварительный шаг. Пометим вершинуSчисломe_s = 0. Далее продолжаем расстановку пометок следующим образом. Помеченные вершины будем относить к множествуR, непомеченные – к множеству. Итак, S Î R.

Общий шаг. Итак,R– множество помеченных вершин. Хотя бы одна вершина всегда имеется вR. Каждой вершинеi Î Rпоставлено в соответствие числоe_i. Рассмотрим все дуги(), исходящие из множества помеченных вершинRи заканчивающиеся на непомеченных вершинахj Î .Найдем для каждой дуги () величинуh_ij = e_i + c_ij. Выделим дуги, на которых достигается минимум этой суммы, и отметим числомe_j=min h_ij, (i Î R, jÎ)те вершиныj Î, на которых заканчиваются выделенные дуги. Будем производить таким образом помечивание вершин до тех пор,пока не пометим вершину t. Число e_t указывает длину кратчайшего пути от S к t.

Заключительный шаг.Искомый путь определяем, двигаясь отtкS по выделенным дугам в направлении, обратном их ориентации.

Таким образом, при решении задачи выполняется конечное число раз общий шаг и один раз заключительный шаг.

3.5. Решение задач о кратчайших путях в табличной форме

3.5.1. Определение кратчайшего пути между двумя

вершинами графа

Рассмотрим алгоритм решения для случая многомерного графа [5]. В конечном многомерном графе каждой дуге поставлено в соответствие число С_{i1,i2,,,il,m1,m2,,ml}, называемое длиной дуги из вершиныx_i1,i2,,ilв вершинуx_m1,m2,,ml. Требуется найти путь наименьшей длины, ведущий из некоторой вершиныSв некоторую вершинуt. Для использования табличного представления многомерных матриц (пп. 1.4, 1.5) введем помечивание индексовC_i1,i1,,m1,ml.Алгоритм включает в себя 3 шага.

Предварительный шаг. В табличном представлении матрицыCстолбецпомечается знаком *. Диагональному элементу в столбце, т.е., придается значение. Помеченные вершины будем относить к множествуR, непомеченные – к, т.е.S Î R.

Общий шаг. Рассмотрим все дуги, исходящие из множества помеченных вершинRи заканчивающиеся на непомеченных вершинах. Для каждой дуги найдем

h_m,l=C_{m,m +} C_m,l,

для чего входим в -строку и складываем диагональный элемент строкии элемент. Находим минимум, затем столбецl_iпомечаем значением мультииндекса, а диагональному элементу столбцаl_iпридаем значение=. И так до тех пор, пока не пометим вершинуt.

Заключительный шаг. Искомый путь определяем, двигаясь отtкSпо отметкам вершин.

Рассмотренный алгоритм может использоваться для определения и наибольшего пути в многомерном ориентированном графе, если длину дуг C_i1,i1,,m1,mlвзять условно со знаком минус, а длину отсутствующих в графе дуг, как и ранее при поиске кратчайшего пути, брать равной бесконечности. Поиск наибольшего пути требуется, например, в задачах расчета сетевых графиков. Он носит название критического пути [4].

Возможен и другой вариант нахождения наибольшего пути в ориентированном графе, не связанный с изменением «знака» длины дуг. Будем считать длину дуг положительными величинами. Тогда для получения наибольшего пути в ориентированном графе с помощью изложенного табличного алгоритма необходимо при определении находить не минимальное значение, а максимальное. Этот подход наиболее распространен в задачах сетевого планирования.